Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).
Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[g(x) = \frac{1}{x^2} - 1; \; D_g = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Gleichung der waagrechten Asymptote: \(y = -1\)
Wertemenge von \(g\): \(W_g = \;]-1;+\infty[\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\)
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Waagrechte (oder schräge) Asymptoten bestimmen das Verhalten des Graphen einer gebochenrationalen Funktion im Unendlichen.
Der Funktionsterm der gebrochenrationalen Funktion \(g(x) = \textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{x^2}} \textcolor{#0087c1}{- 1}\) liegt in der polynomdividierten Form als Summe des gebrochrationalen Teils \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{x^2}}\) und der Konstante \(\textcolor{#0087c1}{-1}\) vor (vgl. Abiturskript - 1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten (gebrochenrationale Funktionen)). In dieser Form lässt sich die Gleichung der waagrechten Asymptote direkt dem Wert der Konstante entnehmen, denn es gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} g(x) = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \Big( \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\to\,0^+}} \textcolor{#0087c1}{- 1}\Big) = \textcolor{#0087c1}{-1^+}\]
Folglich ist \(\textcolor{#0087c1}{y = -1}\) die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\).
Wertemenge von \(g\)
Der Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} g(x) = \textcolor{#0087c1}{-1^+}\) bedeutet, dass sich der Graph von \(g\) für \(x \to \pm \infty\) von oben der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = -1}\) nähert. Somit beschreibt der Grenzwert die untere Grenze des Wertebereichs von \(g\).
Wegen der doppelten Nennernullstelle \(x = 0\) des gebrochenrationalen Teils \(\dfrac{1}{x^2}\) hat die Funktion \(g\) dort eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, in deren Umgebung \((x \to 0)\) der Graph von \(g\) gegen \(\textcolor{#cc071e}{+\infty}\) verläuft.
\[\lim \limits_{x\,\to\,0} g(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0} \Big( \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\to\,+\infty}} - 1\Big) = \textcolor{#cc071e}{+\infty}\]
\[\Rightarrow \enspace W_g = \; ]\textcolor{#0087c1}{-1};\textcolor{#cc071e}{+\infty}[\]
