Der Körper \(ABCDEFGHS_{15}\) stellt modellhaft die Knickpyramide des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 7 m in der Realität.
Ursprünglich wurde mit dem Bau der Pyramide begonnen, die im Modell der Pyramide \(ABCDS_{19}\) entspricht. Aufgrund von Stabilitätsproblemen im Bauprozess musste die Neigung der Seitenflächen gegenüber dem Boden beim Erreichen einer bestimmten Höhe verändert werden. Der entstandene Knick ist namensgebend für die Pyramide.
Bestimmen Sie die Höhenänderung des Bauwerks, die durch die Bauplanänderung hervorgerufen wurde, in Metern. Begründen Sie, dass im unteren Teil des Bauwerks der Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber dem Boden um mehr als 9° größer ist als im oberen Teil des Bauwerks.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe e
Bestimmung der Höhenänderung des Bauwerks
Anhand der Spitze \(S_{19}(0|0|19)\) der ursprünglichen Pyramide (vgl. Teilaufgabe c) und der Spitze \(S_{15}(0|0|15)\) der Knickpyramide (vgl. Teilaufgabe d) ergibt sich im Modell ein Höhenänderung von \(19 - 15 = 4\) Längeneinheiten.
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem 7 m in der Realität entspricht, beträgt die Höhenänderung \(4 \cdot 7\,\text{m} = 28\,\text{m}\).
Begründung der Abweichung der Neigungswinkel der Seitenflächen
Das Kontrollergebnis \(\varphi = 55^{\circ}\) von Teilaufgabe b entspricht der Größe des Neigungswinkels der Seitenflächen gegenüber dem Boden im unteren Teil des Bauwerks.
Aus Teilaufgabe d ist bekannt, dass die Größe des Neigungswinkels der Seitenflächen gegenüber dem Boden im oberen Teil des Bauwerks kleiner als 45° ist.
Mit \(55^{\circ} - 45^{\circ} = 10^{\circ} > 9^{\circ}\) ist der Neigungswinkel im unteren Teil um mehr als 9° größer ist als im oberen Teil des Bauwerks.
