Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

(3 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\).

(3 BE)

Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit „Donau", „Main" und „Lech" bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie „Main" wie Lose der Kategorie „Donau". Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie „Donau" 8 Euro, in der Kategorie „Main" 2 Euro und in der Kategorie „Lech" 20 Cent. Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der Lose der Kategorie „Donau" sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will.

(5 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von \(p\) die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 3 hat.

(4 BE)

Die Zufallsgröße \(Y\) kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) mit \(a, b \in [0;1]\).

Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von \(Y\) gleich 2 ist.

(2 BE)

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\).

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) für \(k \in \{0; 1; 2\}\).

Tragen Sie die fehlenden Werte in die Tabelle ein.

(2 BE)

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\).

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) für \(k \in \{0; 1; 2\}\).

Tragen Sie die fehlenden Werte in die Tabelle ein.

(2 BE)

Der Freizeitpark veranstaltet ein Glücksspiel, bei dem Eintrittskarten für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen (vgl. schematische Abbildung). Wird Sektor K erzielt, gewinnt man eine Kinderkarte im Wert von 28 Euro, bei Sektor E eine Erwachsenenkarte im Wert von 36 Euro. Bei Sektor N geht man leer aus. Der Mittelpunktswinkel des Sektors N beträgt 160°. Die Größen der Sektoren K und E sind so gewählt, dass pro Spiel der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt. Bestimmen Sie die Größe der Mittelpunktswinkel der Sektoren K und E.

(6 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von \(X\) und \(Y\) werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme I, II und III dargestellt. Ordnen Sie \(X\) und \(Y\) jeweils dem passenden Diagramm zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

(3 BE)

Um Geld für die beiden Aktionen einzunehmen, bietet die SMV auf dem Schulfest das Spiel „2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den erzielten Sektoren steht, werden 2 € ausbezahlt. Die Zufallsgröße \(Z\) beschreibt, wie oft die Ziffer 2 auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt.

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_1\) und \(p_2\).

(zur Kontrolle: \(p_2 = \frac{1}{4}\))

(3 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 300 € beträgt.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben.

(3 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben aus dem Fach Mathematik. Der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) entnommen werden. Ermitteln Sie den fehlenden Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie den Erwartungswert von \(X\,\).

(3 BE)

Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.

(4 BE)