Mathematik Abitur Bayern 2019

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

(4 BE)

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p_{k} \colon x \mapsto kx^{2} - 4x - 3\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\), deren Graphen Parabeln sind.

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der Punkt \((2|-3)\) auf der zugehörigen Parabel liegt.

(2 BE)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt.

(3 BE)

Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe.

(2 BE)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen erzielt werden.

(2 BE)

Der Bohrkanal wird geradlinig verlängert und verlässt die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von 3600 m unter der Erdoberfläche. Die Austrittsstelle wird im Modell als Punkt \(R\) auf der Geraden \(PQ\) beschrieben. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet.

(zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\))

(6 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^{2x}}{x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.

(5 BE)

Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. 

(2 BE)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen erzielt werden.

(2 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.

(3 BE)

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen.

Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden Wahrscheinlichkeitswert im Diagramm. Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\).

Abb. 1

(2 BE)

Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\).

Abb. 2

(3 BE)

Binomialverteilung kumulativ; \(k \mapsto \sum \limits_{i\,=\,0}^{k} B(n;p;i)\)

Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\))

(2 BE)

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

(3 BE)

Gegeben sind die beiden Kugeln \(k_{1}\) mit Mittelpunkt \(M_{1}(1|2|3)\) und Radius \(5\) sowie \(k_{2}\) mit Mittelpunkt \(M_{2}(-3|-2|1)\) und Radius \(5\).

Zeigen Sie, dass sich \(k_{1}\) und \(k_{2}\) schneiden.

(2 BE)

Die Schnittfigur von \(k_{1}\) und \(k_{2}\) ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

(3 BE)

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

(3 BE)