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Mathematik Abitur Bayern 2020

  • Die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 1\) begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für \(F(1)\) an.

    (2 BE)

  • Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\).
    Beschreiben Sie, wie \(G_{g}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\))

    (5 BE)

  • Für jeden Wert \(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest.

    Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{2}Q_{2}R\) (vgl. Abbildung 3).
    Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\) allgemein durch den Term \(A(k) = \dfrac{2k}{k^{2} + 1}\) beschrieben werden kann.

    Abbildung 3 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (5 BE)

  • Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\).

    (6 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\).

    Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\) ist.
    Zeigen Sie rechnerisch, dass \(f\) streng monoton abnehmend ist.

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (3 BE)

  • Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

    Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
    Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

    (7 BE)

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

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