Mathematik Abitur Bayern 2021

Es wird das Flächenstück zwischen \(G_{g}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(-\ln{3} \leq x \leq b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von \(b\) so. dass die \(y\)-Achse dieses Flächenstück halbiert.

(6 BE)

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist.

(3 BE)

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\).

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)

Der Graph von \(f\) schließt mit der \(x\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = b\) mit \(b > 1\) ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(b\), für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat.

(3 BE)

Untersuchen Sie, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens.

(2 BE)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms \(1 - P_{\overline{V}}(R)\) im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat.

\[W =\; ]-\infty;1]\]

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat.

\[W =\; ]3;+\infty[\]

(2 BE)

Betrachtet werden eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\).

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann.

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Begründen Sie, dass \(x = 1\) nicht in \(D_{g}\) enthalten ist, und geben Sie den Funktionswert \(g(-2)\) an.

(2 BE)

Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t - 0{,}2)^{2}\right)\) mit geeigneten Werten \(t \in \mathbb R_{0}^{+}\) beschrieben.

Der Punkt \(P\) liegt innerhalb des Dreiecks \(ABS\) und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(P\).

(4 BE)

Abb. 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit \(E(2|0|4)\), \(F(0|2|4)\), \(G(-2|0|4)\) und \(H(0|-2|4)\). Der Mittelpunkt \(S\) des Quadrats \(ABCD\) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABF\) bei \(F\) rechtwinklig ist.

(2 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Begründen Sie, dass \(X\) nicht binomialverteilt ist.

(3 BE)

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\).

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) für \(k \in \{0; 1; 2\}\).

Tragen Sie die fehlenden Werte in die Tabelle ein.

(2 BE)

Begründen Sie, dass \(X\) nicht binomialverteilt ist.

(3 BE)

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und durch den Punkt \(A(2|0|0)\) verläuft. Der Punkt \(B\) liegt auf \(g\) so, dass die Geraden \(AB\) und \(h\) senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\).

(zur Kontrolle: \(B(-2|3|2)\))

(4 BE)