Mathematik Abitur Bayern 2023

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(f\) an.

(2 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\).

(3 BE) 

Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\).

(2 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion  \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\).

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, den Inhalt \(\frac{4}{3}a^3\) hat.

(2 BE) 

(3 BE) 

Ursprünglich wurde mit dem Bau der Pyramide begonnen, die im Modell der Pyramide \(ABCDS_{19}\) entspricht. Aufgrund von Stabilitätsproblemen im Bauprozess musste die Neigung der Seitenflächen gegenüber dem Boden beim Erreichen einer bestimmten Höhe verändert werden. Der entstandene Knick ist namensgebend für die Pyramide.

Bestimmen Sie die Höhenänderung des Bauwerks, die durch die Bauplanänderung hervorgerufen wurde, in Metern. Begründen Sie, dass im unteren Teil des Bauwerks der Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber dem Boden um mehr als 9° größer ist als im oberen Teil des Bauwerks.

(3 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{(x - 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. 

(2 BE) 

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^5\) berechnet werden kann, und begründen Sie Ihre Angabe. 

(2 BE) 

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

(3 BE) 

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1" oder die „2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, \(\large{\frac{20}{27}}\) beträgt.

(2 BE) 

Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.

(3 BE) 

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\).

Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt.

(2 BE) 

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Drehung:

\(\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \; \Leftrightarrow \; \lambda = 0{,}8\), d. h. \(S(4{,}8|3{,}6|0)\)

\(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{S} + \vert \overrightarrow{CS} \vert \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von \(S\) an.

(3 BE) 

Zeichnen Sie die Pyramide \(EFGHS_{15}\) in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche \(EFS_{15}\) und die Grundfläche \(EFGH\) dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45° ist; verwenden Sie dazu folgende Information:

Für den Mittelpunkt \(M\) des Quadrats \(EFGH\) und den Punkt \(N\) mit \( \overrightarrow{N} = \dfrac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{E} + \overrightarrow{F})\) gilt  \(\overline{MS_{15}} < \overline{MN}\).

(4 BE) 

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte \(C\) und \(D\) so, dass \(C\) auf \(h\) liegt und das Viereck \(ABCD\) eine Raute ist.

(4 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Abb. 1

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist.

(2 BE) 

Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\,\))

(5 BE) 

Betrachtet wird für jeden Wert \(c \in \mathbb R^+\) das Rechteck mit den Eckpunkten \(P(-c|0)\), \(Q(c|0)\), \(R(c|f(c))\) und \(S\).

Zeichnen Sie für \(c = 2\) das Rechteck \(PQRS\) in Abbildung 1 ein.

(1 BE) 

Berechnen Sie denjenigen Wert von \(c\), für den \(\overline{QR} = 1\) gilt.

(3 BE) 

Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) die Seitenlängen des Rechtecks \(PQRS\) an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}\) gegeben ist.

(3 BE)