Verhalten im Unendlichen

Betrachtet werden die folgenden Funktionsterme mit \(r,s \in \mathbb N\):

\(e(x) = \sqrt{x - r} \qquad \qquad  \\ \)\(f(x) = \ln x \qquad \qquad \\ \)\(\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x} + s\)

Jeder der Terme beschreibt genau einen der folgenden Funktionsgraphen I,II und III. Ordnen Sie die Terme den Graphen zu und geben Sie die Werte der Parameter \(r\) und \(s\) an; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(5 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von \(F\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts \(F(0)\) im Bereich \(-0{,}3 \leq x \leq 3{,}5\) in Abbildung 1 ein.

(4 BE)

Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) sein und stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) liegen. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x)\) und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

(5 BE)

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\).

(3 BE)

In der Pharmakologie wird das in positive \(x\)-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse befindet, als AUC (area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion \(f\) die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte \(x\) realistisch beschreiben.

Die \(x\)-Achse, \(G_{f}\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(b)\) ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe d angegebenen Stammfunktion \(F\) einen Term für \(A(b)\) und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion \(f\) auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.

(4 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).

Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.

(2 BE) 

Zusätzlich ist die Funktion \(F\) mit \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) und \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Zeigen Sie, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und begründen Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt.

(3 BE)

Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion \(P\) nach, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) = 1\) gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term \(A(x)\) die im Exponenten zur Basis e enthaltene Zahl -0,2 durch eine kleinere Zahl ersetzt.

Vergleichen Sie den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer

● hinsichtlich der durch \(A(0)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) beschriebenen Eigenschaften (vgl. Aufgabe 2a).

● hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).

Skizzieren Sie - ausgehend von diesem Vergleich - in der Abbildung 2 den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.

(5 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\). 

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln(2x + 3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und \(W\) an.

(2 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mit \(f(x) = x^2 - x + 1\), \(g(x) = x^3 - x + 1\) und \(h(x) = x^4 + x^2 + 1\).

(3 BE)

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(A\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2.

(3 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und geben Sie \(f(6)\) an.

(5 BE)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Abb. 1

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(4 BE)