Prüfungsteil A

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(a \, \colon x \mapsto \left( e^x - 2 \right) \cdot \left( x^3 - 2x \right)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\).

(3 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)

Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung?

(2 BE)

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)

Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2|0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3|2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

(2 BE)

Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\).

Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_{a} \colon x \mapsto xe^{ax}\) mit \(a \in \mathbb R \, \backslash \,\{0\}\). Ermitteln Sie, für welchen Wert von \(a\) die erste Ableitung von \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 2\) den Wert 0 besitzt.

(4 BE)

Skizzieren Sie im Bereich \(-1 \leq x \leq 4\) den Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit den folgenden Eigenschaften:

● \(f\) ist nur an der Stelle \(x = 3\) nicht differenzierbar.

● \(f(0)\) = 2 und für die Ableitung \(f'\) von \(f\) gilt: \(f'(0) = -1\).

● Der Graph von \(f\) ist im Bereich \(-1 < x < 3\) linksgekrümmt.

(3 BE)

Die Gerade \(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\).

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \sin x\) durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

(1 BE)

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße \(X\) notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist. 

(3 BE)

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) abhängig sind.

(2 BE)

Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

(3 BE)

Die Funktion \(g\) ist nicht konstant und es gilt \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\).

(2 BE)

Der Graph der Funktion \(h\) geht aus dem Graphen der Funktion \(g\) durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive \(x\)-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von \(h\) an.

(1 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

(3 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte \(C\) und \(D\) so, dass \(C\) auf \(h\) liegt und das Viereck \(ABCD\) eine Raute ist.

(4 BE) 

Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^x\) den Wertebereich \(]-\infty;4[\) besitzt.

(2 BE)

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M\,(-3|2|7)\). Der Punkt \(P\,(3|4|4)\) liegt auf der Kugel.

Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\).

(3 BE)