1.1.5 Betragsfunktion

Die Funktion \(\vert f(x) \vert\) wird als Betragsfunktion der Funktion \(f(x)\) bezeichnet. Betragsfunktionen können abschnittsweise beschrieben werden.

Definitionsmenge: \(D_{\vert f \vert} = D_{f}\)

Wertemenge \(W_{\vert f \vert}\): Der Betrag aller Elemente der Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\)

 

Beispiel: \(f(x) = x\)

\[\vert f(x) \vert = \vert x \vert = \begin{cases} \hspace{13px}x &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -x &\text{für} \quad x < 0 \end{cases}\]

\[D_{\vert f \vert} = R\,, \enspace W_{\vert f \vert} = R_{0}^{+}\]

 

Funktionsgraph einer Betragsfunktion

Der Graph der Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f(x)\), indem alle unterhalb der \(x\)-Achse verlaufenden Teile des Graphen an der \(x\)-Achse gespiegelt werden und die oberhalb der \(x\)-Achse verlaufenden Teile des Graphen beibehalten werden.

 

Graphen der Betragsfunktionen |f(x)/| = |x| und |g(x)| = |¼x² -  4|

Graphen der Betragsfunktionen \(\vert f(x) \vert = \vert x \vert\) und \(\vert g(x) \vert = \vert \dfrac{1}{4}x^{2} - 4\vert\)

 

Differenzierbarkeit einer Betragsfunktion

Die Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) einer in \(D_{f}\) differenzierbaren Funktion \(f\) ist an den einfachen Nullstellen der Funktion \(f\) („Knickstellen" des Graphen der Betragsfunktion) nicht differenzierbar (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Graph der Betragsfunktion |f(x)| = |x|

Die Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) ist an der einfachen Nullstelle \(x = 0\) der Funktion \(f\colon x \mapsto x\) nicht differenzierbar (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Betragsfunktion |g(x)| = |x³|

Die Betragsfunktion \(\vert g(x)\vert\) ist an der dreifachen Nullstelle \(x = 0\) der Funktion \(g\colon x \mapsto x^{3}\) differenzierbar (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Beispielaufgabe

Geben Sie den Funktionsterm einer in \(\mathbb R\) definierten und an den Stellen \(x = -2\) sowie \(x = 2\) nicht differenzierbaren Funktion \(f\) an.

 

\[g(x) = (x - 2)(x + 2) = x^{2} + 4\,; \enspace D = \mathbb R\]

 

Die Funktion \(g\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\). Die Betragsfunktion der Funktion \(g\) ist an den einfachen Nullstellen der Funktion \(g\) („Knickstellen" des Graphen der Betragsfunktion) nicht differenzierbar (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \vert g(x) \vert = \vert x^{2} - 4 \vert\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace W = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Graph der Betragsfunktion f:x ↦ |x² - 4|

Graph der Betragsfunktion \(f\colon x \mapsto \vert x^{2} - 4 \vert\)