Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels \(\beta\) zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels \(\alpha\) zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Richtungsvektor von \(g\) (einfallender Lichtstrahl): \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe b)

Richtungsvektor von \(h\) (reflektierter Lichtstrahl): \(\overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe d)

Richtungsvektor des Einfallslots (Normalenvektor der Ebene \(E\)): \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)

 

Die Größe des Winkels α bzw. β ist gleich der Größe des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der Geraden \(g\) bzw. der Geraden \(h\) und dem Richtungsvektor des Einfallslots (Normalenvektor der Ebene \(E\)).

Winkel α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot, Winkel β zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslotl

Winkel \(\alpha\) zwischen einfallendem Lichtstrahl (Gerade \(g\)) und Einfallslot, Winkel \(\beta\) zwischen reflektiertem Lichtstrahl (Gerade \(h\)) und Einfallslot

Winkel zwischen zwei Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Winkel zwischen zwei Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\]

Winkel zwischen zwei Vektoren

Bei der Berechnung der Größe des Winkels \(\alpha\) muss darauf geachtet werden, dass der Winkel zwischen dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}\) und dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) in mathematisch positivem Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) ein stumpfer Winkel ist.

Um die Größe des spitzen Winkels zu berechnen, wählt man entweder den Gegenvektor \(-\overrightarrow{v}\) oder verwendet die Formel \(\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\). Der Betrag im Zähler bewirkt einen positiven Kosinus und somit einen Winkel zwischen 0° und 90°.

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \cos{\alpha} &= \cos{\beta} \\[0.8em] \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} &= \frac{\vert \overrightarrow{QR} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{QR} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \\[0.8em] \frac{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] \frac{\vert (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + (-4) \cdot 1 \vert}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} &= \frac{\vert 1{,}5 \cdot 1 + 1{,}5 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \vert}{\sqrt{1{,}5^2 + 1{,}5^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} \\[0.8em] \frac{\vert -6 \vert}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{3}} &= \frac{\vert 3 \vert}{\sqrt{4{,}5} \cdot \sqrt{3}} \\[0.8em] \frac{6}{\sqrt{54}} &= \frac{3}{\sqrt{13{,}5}} \\[0.8em] \frac{6}{\sqrt{54}} &= \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{13{,}5}} \\[0.8em] \frac{6}{\sqrt{54}} &= \frac{6}{\sqrt{4 \cdot 13{,}5}} \\[0.8em] \frac{6}{\sqrt{54}} &= \frac{6}{\sqrt{54}} \\[0.8em] \frac{6}{\sqrt{9 \cdot 6}} &= \frac{6}{\sqrt{9 \cdot 6}} \\[0.8em] \frac{\sqrt{6}}{3} &= \frac{\sqrt{6}}{3} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha = \beta\]

 

Anmerkung: Natürlich ist es ebenfalls möglich, die Größe des Winkels \(\alpha\) bzw. \(\beta\) mit \(\displaystyle \cos{\alpha} =\frac{6}{\sqrt{54}}\) bzw. \(\displaystyle \cos{\beta} = \frac{3}{\sqrt{13{,}5}}\) zu berechnen, um zu zeigen, dass die Winkel gleich groß sind.