Die Tangente an \(G_k\) im Punkt \((0|f_k(0))\) wird mit \(t_k\) bezeichnet.
Zeigen Sie, dass \(t_k\) die Steigung \(\dfrac{k}{9}\) hat, und bestimmen Sie denjenigen Wert von \(k\), für den \(t_k\) senkrecht zur Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) steht.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Nachweis, dass \(t_k\) die Steigung \(\frac{k}{9}\) hat
Die Steigung der Tangente \(t_k\) am \(G_k\) im Punkt \((\textcolor{#e9b509}{0}|f_k(0))\) ist gegeben durch die erste Ableitung von \(f_k\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 0}\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(f'_k(x) = \dfrac{x^2+6x+k}{(x+3)^2}\) (vgl. Teilaufgabe 2b)
\[f'_k(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{\textcolor{#e9b509}{0}^2+ 6 \cdot \textcolor{#e9b509}{0} + k}{(\textcolor{#e9b509}{0}+3)^2} = \frac{k}{3^2} = \frac{k}{9}\]
Wert von \(k\), für den \(t_k\) senkrecht zur Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) steht
Das Produkt der Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden ist \(-1\).
Zueinander parallele / senkrechte (orthogonale) Geraden
\[g_1 \colon y = m_1\cdot x + t_1; \enspace g_2 \colon y = m_2\cdot x + t_2\]
parallele Geraden:
\[m_1 = m_2 \; \Leftrightarrow \; g_1 \parallel g_2\]
senkrechte (orthogonale) Geraden:
\[m_1 \cdot m_2 = -1 \; \Leftrightarrow \; g_1 \perp g_2\]
Die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = x-3}\) (schräge Asymptote von \(G_k\)) hat die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{1}\).
Die Steigung der Tangente \(\textcolor{#0087c1}{t_k}\) ist \(\textcolor{#0087c1}{\frac{k}{9}}\) (vgl. oben).
\[\textcolor{#cc071e}{1} \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{k}{9}}= -1 \; \Leftrightarrow \; k = -9\]
