Der Studie zufolge besitzen 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.

Geben Sie den Wert der Summe \(\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\) in Prozent an. Begründen Sie, dass der Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Binomialverteilung

 

Wert der Summe in Prozent

 

\[\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\]

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Die Summe beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 12 von 25 Mädchen (weniger als die Hälfte) im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät besitzen.

\[n = 25\]

\[p = 0{,}55\]

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren, die ein Fernsehgerät besitzen.

 

\[F^{25}_{0{,}55}(12) = P^{25}_{0{,}55}(X \leq 12) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}30632 = 30{,}632\,\%\]

 

Begründung, dass der Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzen

 

Der Wert der Summe \(\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\) berücksichtigt ein Ergebnis der repräsentativen JIM-Studie, nämlich die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät besitzen. Es kann im Allgemeinen nicht davon ausgegangen werden, dass 25 nahezu gleichaltrige Mädchen einer Jahrgangsstufe 9 eine repräsentative Auswahl bilden, auf die sich die Ergebnisse der JIM-Studie anwenden lassen.