Beschreiben Sie die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang und ermitteln Sie den Bereich, in dem der Tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als 25 % ist.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang
Nullhypothese: „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen ist kleiner als 5 %."
Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.
Fehler 1. Art und Fehler 2. Art
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich nicht abgelehnt.
| \(H_{0}\) ist wahr | \(H_{0}\) ist falsch | |
| \(H_{0}\) wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
| \(H_{0}\) wird nicht abgelehnt | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art
\[\alpha' = P(\text{Fehler 1. Art}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art
\[\beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]
Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen zu können, muss eine Annahme für die Wahrscheinlichkeit \(p_1\) der Gegenhypothese \(H_1\) getroffen werden.
\(A\): Annahmebereich der Nullhypothese
\(\overline{A}\): Ablehnungsbereich der Nullhypothese
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird irrtümlich nicht abgelehnt.
Im Sachzusammenhang:
Obwohl mindestens 5 % aller Hüllen fehlerhaft sind, verlangen die Mitglieder der Bigband aufgrund des Testergebnisses keinen Preisnachlass beim Hersteller.
Bereich, in dem der tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, ...
... damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als 25 % ist.
Stichprobenumfang: \(n = 150\) CDs
Betrachtetes Ereignis: „Eine CD-Hülle ist fehlerhaft."
Testgröße \(X\) (binomialverteilte Zufallsgröße): Anzahl der fehlerhaften CD-Hüllen unter der Stichprobe von 150 CDs
\[\textcolor{#0087c1}{A = \{0;1;\dots;11\}}\]
\[\textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{12; \dots;150\}}\]
(vgl. Teilaufgabe 2a)
Nullhypothese: „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen ist kleiner als 5 %."
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird irrtümlich nicht abgelehnt.
„... ermitteln Sie den Bereich, in dem der tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als 25 % ist."
Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.
Fehler 1. Art und Fehler 2. Art
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich nicht abgelehnt.
| \(H_{0}\) ist wahr | \(H_{0}\) ist falsch | |
| \(H_{0}\) wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
| \(H_{0}\) wird nicht abgelehnt | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art
\[\alpha' = P(\text{Fehler 1. Art}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art
\[\beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]
Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen zu können, muss eine Annahme für die Wahrscheinlichkeit \(p_1\) der Gegenhypothese \(H_1\) getroffen werden.
\(A\): Annahmebereich der Nullhypothese
\(\overline{A}\): Ablehnungsbereich der Nullhypothese
\[\begin{align*}P(\text{Fehler 2. Art}) &\textcolor{#89ba17}{<} \textcolor{#89ba17}{0{,}25} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{p}}^{150}(X \in \textcolor{#0087c1}{A}) &\textcolor{#89ba17}{<} \textcolor{#89ba17}{0{,}25}\\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{p}}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) &\textcolor{#89ba17}{<} \textcolor{#89ba17}{0{,}25}\end{align*}\]
Ab hier kommt der wissenschaftliche Taschenrechner zum Einsatz. Das stochastische Tafelwerk ist hier nicht geeignet, weil die Trefferwahrscheinlichkeiten \(p\) zu lückenhaft tabellarisiert sind.
Wert von \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{p}}\) durch systematisches Probieren finden
Damit die Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#e9b509}{p}}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11})\) bereits \(25\,\%\) betragen kann, muss das Maximum der Binomialverteilung deutlich nach links verschoben sein. Dies trifft für kleine Trefferwahrscheinlichkeiten \(p\) zu, da sich der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\), in dessen Umgebung die höchsten Wahrscheinlichkeiten auftreten, dann nach links verschiebt.
Wählt man zunächst beispielsweise \(p= 0{,}05\), stellt man fest, dass die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}05}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}93\) viel zu groß ist. Das bedeutet, dass \(p = 0{,}05\) ein zu kleiner Wert ist.
Für \(p = 0{,}1\) ergibt sich \(P_{0{,}1}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}17 = 17\,\%\), also eine zu kleine Wahrscheinlichkeit.
Der Zwischenwert \(p = 0{,}08\) liefert \(P_{0{,}08}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}46 = 46\,\%\)
Für \(p = 0{,}09\) ergibt sich \(P_{0{,}09}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}29 = 29\,\%\).
Für \(p = 0{,}095\) ergibt sich \(P_{0{,}095}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}23 = 23\,\%\).
Für \(p = 0{,}093\) ergibt sich \(P_{0{,}093}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}25197\), eine noch etwas zu große Wahrscheinlichkeit.
Schließlich ist \(\textcolor{#e9b509}{p = 0{,}094}\) mit \(P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}094}}^{150}(X \textcolor{#0087c1}{\leq 11}) \approx 0{,}23904\) näherungsweise der gesuchte Wert.
Die Herangehensweise zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art abnimmt, je größer der Wert von \(p\) ist (weil sich das Maximum der Binomialverteilung nach rechts verschiebt).
Der tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen müsste somit näherungsweise im Bereich \([\textcolor{#e9b509}{0{,}094};1]\) liegen, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kleiner als 25 % ist.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.6.1 Hypothesentest)
