Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\).
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb R_0^+\]
Berührpunkt der Tangente: \((1|g(1))\)
Die Aufgabenstellung formuliert eine Standard-Tangentenaufgabe.
Ansatz für die Gleichung der Tangente:
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[y = mx + t\]
1. Schritt: \(\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{y}}\)-Koordinate des Berührpunkts \(\boldsymbol{(\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#0087c1}{g(1)})}\) berechnen
\(g(\textcolor{#e9b509}{1}) = \sqrt{\textcolor{#e9b509}{1}} + 1 = \textcolor{#0087c1}{2} \enspace \Rightarrow \enspace (\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#0087c1}{2})\)
2. Schritt: Steigung \(\boldsymbol{\textcolor{#cc071e}{m}}\) der Tangente bestimmen
Die erste Ableitungsfunktion \(g'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(g\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{m} = g'(\textcolor{#e9b509}{1})\]
Erste Ableitungsfunktion \(g'\) bestimmen:
Hierfür kann entweder die Ableitung einer Wurzelfunktion verwendet werden oder nach Formulierung in der Potenzschreibweise die Ableitung einer Potenzfunktion (vgl. Merkhilfe Potenzgesetze).
\[g(x) = \sqrt{x} + 1 = x^{\frac{1}{2}} + 1\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
oder
\[g'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\textcolor{#cc071e}{m} = g'(\textcolor{#e9b509}{1}) = \frac{1}{2\sqrt{\textcolor{#e9b509}{1}}} = \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}}\]
3. Schritt: \(\boldsymbol{y}\)-Achsenabschnitt \(\boldsymbol{t}\) der Tangente berechnen
Einsetzen der Steigung \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{2}}\) sowie der Koordinaten des Berührpunkts \( (\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#0087c1}{2})\) in den Ansatz \(y = mx + t\) ergibt:
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{2} &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{#e9b509}{1} + t &&| - \frac{1}{2} \\[0.8em] \frac{3}{2} &= t\end{align*}\]
Somit ist \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\).
