Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{x - 2} + 1 &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= (x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1 \end{align*}\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \end{align*}\]
\[\begin{align*} \int_{2}^{3}f(x)dx &= \int_{2}^{3} \left[(x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1\right]dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x}_{\text{Stammfunktion von}\;f}\bigg]_{\textcolor{#89ba17}{2}}^{\textcolor{#e9b509}{3}} \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(\textcolor{#e9b509}{3} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#e9b509}{3} - \left[ \frac{2}{3}(\textcolor{#89ba17}{2} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#89ba17}{2} \right] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 3 - 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{3} + 1 \\[0.8em] &= \frac{5}{3}\end{align*}\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f\) benötigt.
Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x)dx\).
Mithilfe der unbestimmten Integrale
\(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\) und
\(\displaystyle \textcolor{#89ba17}{\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\) und
\(\displaystyle \textcolor{#0087c1 }{\int c\,dx = cx + C}\)
ergibt sich:
Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)
\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]
\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:
\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)
\[\begin{align*} \int f(x)dx &= \int \left[\textcolor{#cc071e}{(}\textcolor{#89ba17}{x - 2}\textcolor{#cc071e}{)^{\frac{1}{2}}} + \textcolor{#0087c1}{1}\right]dx \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{1}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{(\textcolor{#89ba17}{x - 2})^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}} + \textcolor{#0087c1}{x} + C \\[0.8em] &= \frac{(x - 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + x + C \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x + C\end{align*}\]
Somit ist \(F(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f\) (für \(C = 0\)) und es folgt:
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \end{align*}\]
\[\begin{align*} \int_{2}^{3}f(x)dx &= \int_{2}^{3} \left[(x - 2)^{\frac{1}{2}} + 1\right]dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{2}{3}(x - 2)^{\frac{3}{2}} + x}_{\text{Stammfunktion von}\;f}\bigg]_{\textcolor{#89ba17}{2}}^{\textcolor{#e9b509}{3}} \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(\textcolor{#e9b509}{3} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#e9b509}{3} - \left[ \frac{2}{3}(\textcolor{#89ba17}{2} - 2)^{\frac{3}{2}} + \textcolor{#89ba17}{2} \right] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 3 - 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{3} + 1 \\[0.8em] &= \frac{5}{3}\end{align*}\]