Bei einem Spiel werfen zwei Spieler abwechselnd jeweils drei Würfel. Das Spiel endet, wenn ein Spieler die Augensumme 18 erzielt oder die Augensumme des vorausgegangenen Wurfs des anderen Spielers nicht übertrifft.
Beim ersten Wurf des Spiels erzielt ein Spieler die Augensumme 15.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler die Würfel im selben Spiel noch einmal wirft. Erläutern Sie Ihr Vorgehen.
(5 BE)
Lösung zu Aufgabe A7
Der Spieler wirft die Würfel im selben Spiel noch einmal, wenn der andere Spieler beim nächsten Wurf die Augensumme 16 oder 17 erzielt.
„Augensumme ist 16" = \(\{\underbrace{(4,6,6); (6,4,6); (6,6,4); (5,5,6); (5,6,5); (6,5,5)}_{\textcolor{#cc071e}{\large{6\;\text{Ergebnisse}}}}\}\)
„Augensumme ist 17" = \(\{\underbrace{(6,6,5); (6,5,6); (5,6,6)}_{\large{\textcolor{#0087c1}{3\;\text{Ergebnisse}}}}\}\)
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
Beispiel
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Beim Werfen der drei Würfel gibt es also 6 mögliche Ergebnisse, die Augensumme 16 zu erzielen und 3 mögliche Ergebnisse, die Augensumme 17 zu erzielen.
Insgesamt gibt es \(\textcolor{#e9b509}{6^3}\) mögliche Ergebnisse (Urnenmodell: Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge), die alle gleichwahrscheinlich sind (Laplace-Experiment).
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P(\text{„Spieler würfelt noch einmal."}) = \frac{\textcolor{#cc071e}{6}}{\textcolor{#e9b509}{6^3}} + \frac{\textcolor{#0087c1}{3}}{\textcolor{#e9b509}{6^3}} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.1.2 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit und 2.3 Kombinatorik - Urnenmodelle)
