Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

  • Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

    α) \(\displaystyle 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^{8}\)

    β) \(\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{8} + 8 \cdot \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{7}\)

    (3 BE)

  • Das Glücksrad wird viermal gedreht und die Abfolge der Farben als Ergebnis notiert. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt.

    (2 BE)

  • An einem Samstagvormittag kommen nacheinander vier Familien zum Eingangsbereich eines Freizeitparks. Jede der vier Familien bezahlt an einer der sechs Kassen, wobei davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang zwei Ereignisse \(A\) und \(B\), deren Wahrscheinlichkeiten sich mit den folgenden Termen berechnen lassen:

    \[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}; \enspace P(B) = \frac{6}{6^{4}}\]

    (3 BE)

  • Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus \(n\) verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

    Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.

    Bestimmen Sie für den Fall \(n = 5\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.

    (2 BE)

  • Im Folgenden wird ein Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 0 bis n - 1 durchnummeriert sind, betrachtet.

    Bestimmen Sie für n = 5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden.

    (3 BE) 

  • Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von n, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist.

    (4 BE) 

  • Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der Vorhang von Hand zugezogen.

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

    \(A\,\): "Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand zugezogen."

    \(B\,\): "Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal von Hand zugezogen."

    (5 BE)

  • Beschreiben Sie ein Urnenexperiment, mit dem sich das Verhalten des Mechanismus bei 15-maligem Schließen des Vorhangs simulieren lässt.

    (2 BE)

  • Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt.

    \(A\): "Nur die ersten fünf Preise entfallen auf die Kategorie 4."

    \(B\): "Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4."

    \(C\): "Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1 und 4."

    (5 BE)