Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.
Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der erhaltenen 3D-Bilder"
Analyse der Angabe:
„20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder."
\[\Longrightarrow \quad p = \frac{20}{200} = 0{,}1\]
„... um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D Bild zu erhalten."
\[P_{0{,}1}^{n}(X \geq 1) > 0{,}99\]
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &| \;\text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] - P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad\text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &< 0{,}01 & &| \;\text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{0{,}1^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}1)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] 0{,}9^{n} &< 0{,}01 & &| \; \ln \\[0.8em] \ln\big(0{,}9^{n}\big) &< \ln(0{,}01) & &| \; \log_{a}\big( b^n \big) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}9 &< \ln 0{,}01 & &| : \ln 0{,}9 \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \\[0.8em] n &> 43{,}7 \end{align*}\]
Ein Kind benötigt mindestens 44 Bilder und damit mindestens neun Päckchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.
