Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}\).
Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[F(x) = 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}; \; D_F = \mathbb R\]
\(f(x) = \dfrac{4}{e^x+1}; \; D_f = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 1)
Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt.
Hierfür wird u. a. die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion und natürlichen Exponentialfunktion sowie die Kettenregel benötigt.
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn
\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)
gilt.
\[F(x) = 4x - 4 \cdot \textcolor{#0087c1}{\ln{(\textcolor{#cc071e}{e^x+1})}}; \; D_F = \mathbb R\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}F'(x) &= 4 - 4 \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{\textcolor{#cc071e}{e^x+1}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^x} \\[0.8em] &= 4 - \frac{4e^x}{\textcolor{#e9b509}{e^x+1}} &&|\;\text{gemeinsamer Hauptnenner:}\; \textcolor{#e9b509}{e^x+1} \\[0.8em] &= \frac{4\cdot (\textcolor{#e9b509}{e^x+1})}{\textcolor{#e9b509}{e^x+1}} - \frac{4e^x}{\textcolor{#e9b509}{e^x+1}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (e^x+1) - 4e^x}{e^x+1} \\[0.8em] &= \frac{4e^x + 4 - 4e^x}{e^x+1} \\[0.8em] &= \frac{4}{e^x + 1} \\[0.8em] &= f(x)\end{align*}\]
Also ist die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
