Der Graph besitzt den Hochpunkt \(H\big(4\big|\frac{12}{e}\big)\).
Begründen Sie, dass \(G\) der Graph der Funktion \(g_k\) mit \(k = -0{,}25\) ist.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[g_k(x) = 3x \cdot e^{kx}; \; D_{g_k} = \mathbb R, \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
Hochpunkt \(H\bigg(\textcolor{#e9b509}{4}\bigg|\textcolor{#e9b509}{\dfrac{12}{e}}\bigg)\) des Graphen \(G\) von \(g_k\) für \(k = -0{,}25\)
Zeigen, dass \(k = -0{,}25\) die Lösung der Gleichung \(g_k(\textcolor{#e9b509}{4}) = \textcolor{#e9b509}{\dfrac{12}{e}}\) ist.
\[\begin{align*}g_k(\textcolor{#e9b509}{4}) &= \textcolor{#e9b509}{\dfrac{12}{e}} \\[0.8em] 3 \cdot \textcolor{#e9b509}{4} \cdot e^{k \cdot \textcolor{#e9b509}{4}} &=\textcolor{#e9b509}{\dfrac{12}{e}} &&| : 12 \\[0.8em] e^{4k} &= e^{-1} &&| \; \ln \; \text{(Logarithmieren bzw. Exponentenvergleich)} \\[0.8em] \ln{\left(e^{4k}\right)} &= \ln{\left(e^{-1}\right)} &&| \; \ln{\left( e^x \right)} = x \\[0.8em] 4k &= -1 &&| :4 \\[0.8em] k &= -0{,}25 \end{align*}\]
Also ist \(G\) der Graph der Funktion \(g_k\) mit \(k = -0{,}25\).
Alternative:
Zeigen, dass sich mithilfe der Koordinaten des Extrempunkts \(E_k\bigg(-\dfrac{1}{k}\bigg| -\dfrac{3}{ke}\bigg)\) (vgl. Teilaufgabe 2a) für \(k = \textcolor{#e9b509}{-0{,}25}\) die Koordinaten des Hochpunkts \(H\bigg( 4\bigg| \dfrac{12}{e} \bigg)\) des Graphen \(G\) ergeben.
\(x\)-Koordinate von \(E_{\textcolor{#e9b509}{-0{,}25}}\): \(-\dfrac{1}{\textcolor{#e9b509}{-0{,}25}} = 4 = x_H\)
\(y\)-Koordinate von \(E_{\textcolor{#e9b509}{-0{,}25}}\): \(-\dfrac{3}{\textcolor{#e9b509}{-0{,}25} \cdot e} = \dfrac{12}{e} = y_H\)
Also ist \(G\) der Graph der Funktion \(g_k\) mit \(k = -0{,}25\).
