Abiturlösungen Mathematik Bayern 2017

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Auf der Strecke \([AB]\) gibt es einen Punkt \(D\), der von \(B\) dreimal so weit entfernt ist wie von \(A\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(D\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Vektoraddition

 

Der Punkt D teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 1 : 3.

Planskizze: Der Punkt \(D\) teilt die Strecke \([AB]\) im Verhältnis 1 : 3.

 

Der Ortsvektor \(\overrightarrow{D}\) lässt sich durch Vektoraddition wie folgt berechnen:

 

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]

 

oder

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{B} - \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} - \frac{3}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
2.4.1 Abstand Punkt - Gerade