Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \left( \ln{x} \right)^2\). Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \(P(e|1)\).
- Die zweite Ableitungsfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = e\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für den Graphen von \(f\) an.
(1 BE) - Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\).
(4 BE)
Lösung zu Aufgabe A1
\[f(x) = \left(\ln{x}\right)^2; \; D_f = \mathbb R^+\]
\[P(e|1)\]
a) Bedeutung der Aussage
„Die zweite Ableitungsfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = e\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel."
Die Stelle \(x = e\) ist Wendestelle von \(f\).
oder
Der Punkt \(P(e|1)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(f\).
Wendestellen(n)
Ist eine Funktion \(f\) in einem Intervall \(I =\, ]a;b[\) zweimal differenzierbar und \(x_0\) eine innere Stelle von \(I\), so gilt:
Die Stelle \(x_0\) ist genau dann eine Wendestelle von \(f\), wenn \(f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt.
Wendestelle(n) und dritte Ableitung
Ist eine Funktion \(f\) in einem Intervall \(I =\, ]a;b[\) dreimal differenzierbar und \(x_0\) eine innere Stelle von \(I\), so gilt:
Die Stelle \(x_0\) ist eine Wendestelle von \(f\), wenn \(f''(x_0) = 0\) ist und \(f'''(x_0) \neq 0\) ist.
Begründung (nicht verlangt)
Die Aussage nennt sowohl die notwendige als auch die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle \(x = e\).
Notwendige Bedingung: \(f''(e) = 0\)
Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von \(f''\) an der Stelle \(x = e\)
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.2.5 Krümmungsverhalten, Wendestellen und Wendepunkte)
b) Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\)
\[f(x) = \left(\ln{x}\right)^2; \; D_f = \mathbb R^+\]
\[P(e|1)\]
Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#e9b509}{t}\) (Geradengleichung)
1. Tangentensteigung berechnen
Tangentensteigung und Normalensteigung
\[\textcolor{#cc071e}{m_{T}} = f'(x_0) \qquad \textcolor{#0087c1}{m_{N}} = -\dfrac{1}{f'(x_0)}\]
Steigungswinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) einer Tangente
\[{\textcolor{#cc071e}{\tan{\alpha}}} = f'(x_0)\]
\[\textcolor{#cc071e}{m} = f'(e)\]
Mithilfe der Kettenregel ergibt sich:
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[f'(x) = 2 \cdot \ln{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln{x}}{x}\]
Und somit:
\[\textcolor{#cc071e}{m} = f'(e) = \frac{2 \cdot \ln{e}}{e} = \textcolor{#cc071e}{\frac{2}{e}}\]
2. \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{y}}\)-Achsenabschnitt \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{t}}\) bestimmen
Hierfür wird der Wert der Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) sowie die Koordinaten des Punktes \(P(\textcolor{#0087c1}{e}|\textcolor{#0087c1}{1})\) in die Geradengleichung \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#e9b509}{t}\) eingesetzt und die Gleichung nach \(\textcolor{#e9b509}{t}\) aufgelöst.
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{1} &= \textcolor{#cc071e}{\frac{2}{e}} \cdot \textcolor{#0087c1}{e} + \textcolor{#e9b509}{t} \\[0.8em] 1 &= 2 + \textcolor{#e9b509}{t} &&| - 2 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{-1} &= \textcolor{#e9b509}{t} \end{align*}\]
3. Gleichung der Tangente angeben
\[y = \textcolor{#cc071e}{\frac{2}{e}}x \textcolor{#e9b509}{-1}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.2.2 Tangentensteigung und Tangentengleichung)
