Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße \(X\) festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).

Abbildung zu Teilaufgabe 2 Stochastik 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2015

 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Erwartungswert einer Zufallsgröße

 

Der Abbildung entnimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten:

 

\[P(X = -2) = 0{,}25\]

\[P(X = 1) = 0{,}25\]

\[P(X = 2) = 0{,}5\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Tabellenform:

\(X = x_{i}\) \(-2\) \(1\) \(2\)
\(P(X = x_{i})\) \(0{,}25\) \(0{,}25\) \(0{,}5\)

 

Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) berechnen:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:

Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]

Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.

\[\begin{align*} E(X) &= (-2) \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= -0{,}5 + 0{,}25 + 1 \\[0.8em] &= 0{,}75  \end{align*}\]