Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße \(X\) festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).

(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Erwartungswert einer Zufallsgröße
Der Abbildung entnimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten:
\[P(X = -2) = 0{,}25\]
\[P(X = 1) = 0{,}25\]
\[P(X = 2) = 0{,}5\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Tabellenform:
\(X = x_{i}\) | \(-2\) | \(1\) | \(2\) |
\(P(X = x_{i})\) | \(0{,}25\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) |
Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(X) &= (-2) \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= -0{,}5 + 0{,}25 + 1 \\[0.8em] &= 0{,}75 \end{align*}\]