Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße \(X\) festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).
![Abbildung zu Teilaufgabe 2 Stochastik 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2015](/images/stories/B2015_PT_A_S_2/B2015_PT_A_S_2_2.0.png)
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Erwartungswert einer Zufallsgröße
Der Abbildung entnimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten:
\[P(X = -2) = 0{,}25\]
\[P(X = 1) = 0{,}25\]
\[P(X = 2) = 0{,}5\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Tabellenform:
\(X = x_{i}\) | \(-2\) | \(1\) | \(2\) |
\(P(X = x_{i})\) | \(0{,}25\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) |
Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(X) &= (-2) \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= -0{,}5 + 0{,}25 + 1 \\[0.8em] &= 0{,}75 \end{align*}\]