Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\).
Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, den Inhalt \(\frac{4}{3}a^3\) hat.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3a
\[f(x) = -x^2 + 2ax; \; a \in \; ]1;+\infty[\]
Nullstellen von \(f\): \(x = 0\) und \(x = 2a\)
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{2a} f(x)dx\) errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
(vgl. Abiturskript - 1.6.4 Flächenberechnung (Integralrechnung))
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} A &= \int_{0}^{2a} f(x)dx \\[0.8em] &= \int_0^{2a} (\textcolor{#e9b509}{-x^2 + 2ax})dx &&| \;\int \textcolor{#e9b509}{x^r} dx = \textcolor{#e9b509}{\frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C} \;(r \neq -1) \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= \bigg[ \textcolor{#e9b509}{\underbrace{-\frac{1}{3}x^3 + ax^2}_{\text{Stammfunktion}}} \bigg]_{\textcolor{#0087c1}{0}}^{\textcolor{#0087c1}{2a}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{3} \cdot (\textcolor{#0087c1}{2a})^3 + a \cdot (\textcolor{#0087c1}{2a})^2 - \left( -\frac{1}{3} \cdot \textcolor{#0087c1}{0}^3 + a \cdot \textcolor{#0087c1}{0}^2 \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{3} \cdot 8a^3 + a \cdot 4a^2 - 0 \\[0.8em] &= -\frac{8}{3}a^3 + 4a^3 \\[0.8em] &= \frac{4}{3}a^3 \end{align*}\]
