Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelalbum sind Plätze für insgesamt 200 verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen.

Begründen Sie, dass der Term \(\dfrac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{200^5}\) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[\frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{200^{5}}\]

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]

Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).

Betrachtung des Nennerterms:

Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen

Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen (Wiederholung)

Aus einer Urne mit \(n\) unterscheidbaren Kugeln wird \(k\)-mal eine Kugel
mit Zurücklegen gezogen. Die Kugeln werden in der Reihenfolge
des Ziehens notiert.

Anzahl der möglichen Ergebnisse: \(\enspace n^k\)

Der Term \(200^5\) beschreibt alle Möglichkeiten, fünf beliebige Tierbilder pro Päckchen zu erhalten. Für jedes der fünf Tierbilder pro Päckchen gibt es 200 Möglichkeiten, ein beliebiges Tierbild auf ein Päckchen zufällig zu verteilen. Da die Tierbilder in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert werden, ist die Wahrscheinlichkeit, eines der 200 verschiedenen Tierbilder auf ein Päckchen zu verteilen (Elementarereignis) gleich groß. Damit erfüllt das Bestücken der Päckchen die Voraussetzung eines Laplace-Experiments.

 

Betrachtung des Zählerterms:

Anordnung von Objekten

Anordnung von Objekten

Es gibt \(n!\) Möglichkeiten, \(n\) Objekte in einer Reihe anzuordnen. Eine mögliche Anordung wird als Permutation der \(n\) Objekte bezeichnet.

Es gibt \(\displaystyle \,n \cdot (n - 1)\; \cdot \; ... \; \cdot \; (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}\,\) Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) verschiedenen Objekten auszuwählen und in einer Reihe anzuordnen.

Der Term \(200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196\) beschreibt die für das Ereignis „fünf verschiedene Tierbilder pro Päckchen" günstigen Möglichkeiten. Für das erste Tierbild gibt es 200 Möglichkeiten von 200 verschiedenen Tierbildern, ein Tierbild auf ein Päckchen zu verteilen. Für das zweite Tierbild gibt es noch 199 Möglichkeiten, ein vom ersten Tierbild verschiedenes Tierbild auf ein Päckchen zu verteilen. Für das dritte Tierbild gibt es noch 198 Möglichkeiten, ein von den ersten beiden Tierbildern verschiedenes Tierbild auf ein Päckchen zu verteilen usw.

 

Der Term \(\, \frac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{200^{5}}\,\) beschreibt somit die Laplace- Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden