Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von \(p\) die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 3 hat.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen.
In Abhängigkeit von \(p\) ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
\(X = x_{i}\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
\(P(X = x_{i})\) | \(p^{2}\) | \(2p \cdot (1 - p)\) | \((1 - p)^{2}\) |
(\(P(X = 4) = 2p \cdot (1 - p)\); vgl. Teilaufgabe a)
Der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) soll den Wert 3 annehmen.
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(X) &= 3 \\[0.8em] 2 \cdot p^{2} + 4 \cdot 2p \cdot (1 - p) + 6 \cdot \underbrace{(1 - p)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 3 &&| \; \text{2. Binom. Formel} \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 \cdot (\underbrace{1 - 2p + p^{2}}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}}) &= 3 \\[0.8em] 2p^{2} + 8p - 8p^{2} + 6 - 12p + 6p^{2} &= 3 \\[0.8em] -4p + 6 &= 3 &&| - 6 \\[0.8em] -4p &= -3 &&| : (-4) \\[0.8em] p &= \frac{3}{4} \end{align*}\]
Anmerkung:
Mit \(p = \frac{3}{4}\) hat der Sektor des Glücksrads mit der Zahl 1 einen Mittelpunktswinkel von 270° (Dreiviertelkreis) und der Sektor mit der Zahl 3 einen Mittelpunktswinkel von 90° (Viertelkreis).