Abiturlösungen Mathematik Bayern 2012

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

\[E \colon \enspace x_2 + 2x_3 - 8 = 0\,; \qquad R\,(3|0|0)\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abstand Punkt - Ebene

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:

Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]

Koordinatendarstellung

\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]

Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

Normalenvektor der Ebene \(E\,\): \(\enspace \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\,\):

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\vert \overrightarrow{n}_E \vert = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

 

\[E^{HNF}\colon \enspace \frac{x_2 + 2x_3 - 8}{\sqrt{5}} = 0\]

 

Abstand \(d\,(R; E)\) berechnen:

 

\[R\,(3|0|0)\]

 

\[\begin{align*}d\,(R, E) &= \left| \frac{r_2 + 2r_3 - 8}{\sqrt{5}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{0 + 2 \cdot 0 - 8}{\sqrt{5}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-8}{\sqrt{5}} \right| = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}58 \end{align*}\]