Die Funktion \(f^* \colon\mapsto f(x)\) mit Definitionsbereich \(]5;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(f\) nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) nicht umkehrbar ist, die Funktion \(f^*\) dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von \(f^*\) in die Abbildung ein.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]
\[f^{*}(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f^{*}} =\; ]5;+\infty[\]
Begründung, weshalb die Funktion \(f\) nicht umkehrbar ist, die Funktion \(f^{*}\) dagegen schon
1. Lösungsansatz: Definition einer Funktion
Graph der Funktion \(f\) und dessen an der Winkelhalbierenden \(w\) gespiegeltes Bild \(G'_{f}\)
Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion
Eine Funktion \(f\,\colon\,\mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der Wertemenge \(W_{f}\) heißt umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) genau ein \(x \in D_{f}\) mit \(f(x) = y\) gibt.
Ist eine Funktion auf Ihrer Definitionsmenge oder einer Teilmenge streng monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar.
Die Funktion \(f\) ist in \(D_{f}\) nicht umkehrbar, da es - mit Ausnahme von \(y = 0\) - zu jedem \(y \in W_{f}\) zwei \(x \in D_{f}\) gibt. Spiegelt man \(G_{f}\) an der Winkelhalbierenden \(w\), so lässt sich das Spiegelbild \(G'_{f}\) nicht mit einer Funktion beschreiben, da nicht jedem \(x \in D_{f}\) jeweils eindeutig ein \(y \in W_{f}\) zugeordnet werden kann.
Der Funktion \(f^{*}\) mit dem eingeschränkten Definitionsbereich \(D_{f^{*}} = ]5;+\infty[\) ist umkehrbar, da es zu jedem \(y \in W_{f^{*}}\) jeweils genau ein \(x \in D_{f^{*}}\) gibt.
2. Lösungsansatz: Monotonieverhalten
Graph dr Funktion \(f\)
Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion
Eine Funktion \(f\,\colon\,\mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der Wertemenge \(W_{f}\) heißt umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) genau ein \(x \in D_{f}\) mit \(f(x) = y\) gibt.
Ist eine Funktion auf Ihrer Definitionsmenge oder einer Teilmenge streng monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar.
Die Funktion \(f\) ist in den Intervallen \(]-\infty;-5[\), \(]-5;5[\) und \(]5;+\infty[\) jeweils streng monoton fallend und damit in dem jeweiligen Intervall auch umkehrbar. Sie ist aber aufgrund ihrer Definitionslücken in \(\mathbb R\) nicht streng monoton fallend und somit in \(\mathbb R\) nicht umkehrbar.
Die Funktion \(f^{*}\) mit dem eingeschränkten Definitionsbereich \(D_{f^{*}} = \; ]5;+\infty[\) ist umkehrbar, da sie in \(D_{f^{*}}\) streng monoton fallend ist.
Einzeichnen des Graphen der Umkehrfunktion von \(f^{*}\)
Graph der Funktion \(f\), Graph der Funktion \(f^{*}\) und Graph der Umkehrfunktion \({f^{*}}^{-1}\) von \(f^{*}\)
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
Der Graph der Umkehrfunktion \({f^{*}}^{-1}\) von \(f^{*}\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(f^{*}\) an der Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.