Es gibt eine Stelle \(x_0 \in [0;10]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) übereinstimmt. Ermitteln Sie grafisch anhand von Abbildung 1 einen Näherungswert für \(x_0\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
In graphischer Interpretation bedeutet die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) die Steigung der Sekante durch die Graphenpunkte \((0|f(0))\) und \((1|f(10))\).
Der Differenzenquotient \(m_S = \dfrac{f(b) -f(a)}{b-a}\) beschreibt die Steigung einer Sekante durch die Graphenpunkte \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\).
Bedeutung
Mittlere Steigung von \(G_f\) im Intervall \([a;b]\)
Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([a;b]\)
Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitraum \([t_1;t_2]\)
Beispiel
Eine Funktion \(f\) beschreibt die Schadstoffemission eines Industrieschornsteins in Kubikmeter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten.
\(m_S = \dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}\) beschreibt dann die Emissionsrate in Kubikmeter pro Minute im Zeitraum \([t_1;t_2]\).
Der Differentialquotient \(f'(x_0) = \lim \limits_{x \,\to \,x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) beschreibt die Steigung der Tangente im Punkt \((x_0|f(x_0))\).
Bedeutung
Formale Definition der Ableitung
Steigung von \(G_f\) an der Stelle \(x_0\)
Lokale Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x_0\)
Momentane Änderungsrate von \(f\) zu einem Zeitpunkt \(t\)
Beispiel
Eine Funktion \(f\) beschreibt die Schadstoffemission eines Industrieschornsteins in Kubikmeter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten.
Dann beschreibt \(f'(t_1) = \lim \limits_{t \,\to\,t_1} \dfrac{f(t) - f(t_1)}{t - t_1}\) die momentane Emissionsrate in Kubikmeter pro Minute zum Zeitpunkt \(t_1\).
Die lokale Änderungsrate von \(f\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) an einer betrachteten Stelle.
Eine zur Sekante parallele Tangente berührt den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) übereinstimmt.
Es ergibt sich näherungsweise: \(\textcolor{#cc071e}{x_0 \approx 3{,}6}\).
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.2.1 Die Ableitung - mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate)
