Aus einer Transportkiste mit 25 Paketen, unter denen sechs Retouren sind, werden nacheinander zehn Pakete zufällig entnommen und an eine Prüfstelle weitergeleitet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten beiden Pakete Retouren sind.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
\[\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} = \frac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\]
bzw.
\[\frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 24} = \frac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\]
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Das beschrieben Zufallsexperiment entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge".
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Betrachtung als zweistufiges Zufallsexperiment
Es interessiert nur die Entnahme der ersten beiden Pakete, da über das dritte bis zehnte entnommene Paket keine Aussage vorliegt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das erste Paket eine von sechs Retouren unter insgesamt 25 Paketen ist, beträgt \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{6}{25}}\).
Es verbleiben fünf Retouren unter 24 Paketen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Paket eine der noch fünf Retouren unter 24 Paketen ist, beträgt \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{5}{24}}\)
Nach der Produktregel (1. Pfadregel) werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[\textcolor{#cc071e}{\frac{6}{25}} \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{5}{24}} = \frac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\]
Betrachtung als Laplace-Experiment
Es gibt \(\textcolor{#cc071e}{25 \cdot 24}\) gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, die ersten beiden Pakete nacheinander und ohne Zurücklegen zu entnehmen.
Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{6 \cdot 5}\) günstige Möglichkeiten für das Ereignis „Die ersten beiden Pakete sind Retouren."
Dann gilt für die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Die ersten beiden Pakete sind Retouren.":
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[\frac{\textcolor{#0087c1}{6 \cdot 5}}{\textcolor{#cc071e}{25 \cdot 24}} = \frac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\]
