Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:
Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.
Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.
Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.
Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.
Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.
Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\).
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.