Es gibt einen Wert von \(k\), für den der Flächeninhalt des Dreiecks \(BDQ_k\) minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe e
ergänzende Ansicht
Da jede Ebene der Ebenenschar \(F_k\) die Pyramide \(ABCDS\) in einem Dreieck \(BDQ_k\) schneidet (vgl. Schnittfigur \(BDQ_2\) aus Teilaufgabe d), hängt der Flächeninhalt eines Dreiecks \(BDQ_k\) nur von der Höhe \([MQ_k]\) ab. Dabei ist \(M\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Drachenvierecks (Grundfläche).
Der Flächeninhalt des Dreiecks \(BDQ_k\) ist minimal, wenn die Höhe \(\textcolor{#0087c1}{[MQ_k]}\) senkrecht zur Kante \([SC]\) ist. Der Vektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}}\) ist dann ein Normalenvektor der zugehörigen Ebene \(F_k\). Das bedeutet, dass der Normalenvektor \(n_k\) der Ebenenschar \(F_k\) und der Vektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}}\) für einen bestimmten Wert von \(k\) linear abhängig sind.
\(\overrightarrow{n_k} = c \cdot \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}}\) mit \(c \in \mathbb R\).
Die ergänzende Ansicht zeigt die Schnittfigur \(BDQ_k\) mit minimalem Flächeninhalt.
Wert von \(k\) ermitteln:
\(C(0|6|0)\), \(S(0|0|6)\)
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix}}\]
\(F_k\colon k \cdot x_2 + (k-2) \cdot x_3 = 2k \; \Rightarrow \; \overrightarrow{n_k} = \begin{pmatrix} 0\\k\\k-2 \end{pmatrix}\) mit \(k \in \; ]0;3[\)
Lineare (Un)Abhängigkeit von zwei Vektoren
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind
linear abhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\) bzw. \(\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\) mit \(k \in \mathbb R\) gilt.
linear unabhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\) bzw. \(\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\) mit \(k \in \mathbb R\) gilt.
Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren
Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind
linear abhängig, wenn
sie in einer Ebene liegen bzw. wenn beispielsweise
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.
linear unabhängig, wenn
sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn beispielsweise
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.
\[\begin{align*}\overrightarrow{n_k} &= c \cdot \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} &&(c \in \mathbb R) \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0\\k\\k-2 \end{pmatrix} &= c \cdot \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix}} \end{align*}\]
Koordinatenweise gelesen, ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem.
\[\begin{align*} \text{(I)}\enspace \quad \enspace \; 0 &= 0 \\ \text{(II)}\enspace \quad \enspace \; k &= 6c \\ \text{(III)}\enspace k-2 &= -6c \end{align*}\]
\[\text{(II) in (III)}\colon k-2 = -k \; \Leftrightarrow \; 2k = 2 \; \Leftrightarrow \; k = 1\]
(\(k = 1 \; \text{in II}\) ergibt \(c = \frac{1}{6}\))
Für \(k = 1\) hat die Schnittfigur \(BDQ_1\) der Ebene \(F_1\) mit der Pyramide \(ABCDS\) den kleinsten Flächeninhalt.
Alternative: Lotfußpunkt \(Q_k\) bestimmen (zeitaufwendiger)
Betrachtet wird das Lot von \(M\) auf die Kante \([SC]\). Bestimmt man die Koordinaten des Lotfußpunktes \(Q_k\) und setzt diese in die Gleichung der Ebenenschar \(F_k\) ein, erhält man den zugehörigen Wert von \(k\), für den der Flächeninhalt des Dreiecks \(BDQ_k\) (Schnittfigur) minimal ist.
Bedingung: Der Vektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}}\) und der Lotvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}}\) sind zueinander senkrecht.
Anwendung des Skalarprodukts
Zueinander senkrechte (orthogonale) Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn deren Skalarprodukt null ist.
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}}\]
\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}} \perp \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} = 0\]
Gleichung der Kante (Strecke) \([SC]\) in Parameterform:
\(C(0|6|0)\), \(S(0|0|6)\), \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix}}\) (vgl. oben)
Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[[SC] \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix}, \; \lambda \in [0;1]\]
Lotfußpunkt \(Q_k\) als Punkt auf der Kante \([SC]\) beschreiben:
\[Q_k \in [SC] \colon \overrightarrow{Q_k} = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\6\lambda\\6 - 6\lambda \end{pmatrix}, \; \lambda \in [0;1]\]
Lotvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}}\) in Abhängigkeit von \(\lambda\) formulieren:
\(M(0|2|0)\), \(\overrightarrow{Q_k} = \begin{pmatrix} 0\\6\lambda\\6 - 6\lambda \end{pmatrix}\)
\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}} = \overrightarrow{Q_k} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 0\\6\lambda\\6 - 6\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} = \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\-2 + 6\lambda\\6 - 6\lambda \end{pmatrix}}\]
Bedingung \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{MQ_k}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{SC}} = 0\) anwenden:
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\-2 + 6\lambda \\6 - 6\lambda \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\6\\-6 \end{pmatrix}} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot 0 + (-2 + 6\lambda) \cdot 6 + (6 - 6\lambda) \cdot (-6) &= 0 \\[0.8em]- 12 + 36\lambda - 36 + 36\lambda &= 0 \\[0.8em] 72\lambda - 48 &= 0 &&| + 48 \\[0.8em] 72\lambda &= 48 &&| : 72 \\[0.8em] \lambda &= \frac{2}{3}\end{align*}\]
Koordinaten des Lotfußpunktes \(Q_k\) berechnen:
\[\overrightarrow{Q_k} = \begin{pmatrix} 0\\6 \cdot \frac{2}{3}\\6 - 6 \cdot \frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\4\\2\end{pmatrix} \; \Rightarrow \; Q_k(0|4|2)\]
Wert von \(k\) für minimalen Flächeninhalt des Dreiecks \(BDQ_k\) (Schnittfigur) berechnen:
\(F_k \colon k \cdot x_2 + (k - 2) \cdot x_3 = 2k\) mit \(k \in \; ]0;3[\)
\(Q_k(0|4|2)\)
\[\begin{align*}Q_k \in F_k \colon k \cdot 4 + (k - 2) \cdot 2 &= 2k \\[0.8em] 4k + 2k - 2 &= 2k &&| -2k + 4 \\[0.8em] 4k &= 4 &&| : 4 \\[0.8em] k &= 1\end{align*}\]
Für \(k = 1\) hat die Schnittfigur \(BDQ_1\) der Ebene \(F_1\) mit der Pyramide \(ABCDS\) den kleinsten Flächeninhalt.
