Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von \(f\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Mögliche Graphen von \(f\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Analyse der Eigenschaften:
- \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle.
Der Graph der Funktion \(f\) schneidet oder berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\).
- Es gilt \(f'(x_2) = 0\) und \(f''(x_2) \neq 0\).
Mit \(f'(x_2) = 0\) hat der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_2\) eine waagrechte Tangente. Da zugleich \(f''(x_2) \neq 0\) gilt, kann an der Stelle \(x_2\) kein Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Wendetangente) sein, sondern ausschließlich ein Extrempunkt.
- \(f'\) hat ein lokales Minimum an der Stelle \(x_3\).
\(x_3\) ist Wendestelle des Graphen der Funktion \(f\).
Für den Fall, dass der Graph in der Umgebung von \(x_3\) fällt, ist \(x_3\) eine Stelle der lokal stärksten Abnahme (Steigung ist maximal negativ).
Für den Fall, das der Graph in der Umgebung von \(x_3\) steigt, ist \(x_3\) eine Stelle der lokal geringsten Zunahme (Steigung ist minimal positiv).
Zwei mögliche Vorgehensweisen
1. Möglichkeit
Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\) mit Vorzeichenwechsel von – nach + .
Dann besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_2}\) einen Hochpunkt ...
und im Wendepunkt an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_3}\) ist die Steigung des Graphen von \(f\) maximal negativ.
Im dargestellten Bereich ergibt sich ein möglicher Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) vom Grad 3.
2. Möglichkeit
Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\) mit Vorzeichenwechsel von + nach –.
Dann besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_2}\) einen Tiefpunkt ...
und im Wendepunkt an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_3}\) ist die Steigung des Graphen von \(f\) minimal positiv.
Im dargestellten Bereich ergibt sich ein möglicher Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) vom Grad 4.