Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von \(f\).

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Ein möglicher Graph von f ist ein Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3Abb. 1

Ein möglicher Graph von f ist ein Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4.Abb. 1

Mögliche Graphen von \(f\)

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Analyse der Eigenschaften: 

  • \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle.

Der Graph der Funktion \(f\) schneidet oder berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\).

 

  • Es gilt \(f'(x_2) = 0\) und \(f''(x_2) \neq 0\).

Mit \(f'(x_2) = 0\) hat der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_2\) eine waagrechte Tangente. Da zugleich \(f''(x_2) \neq 0\) gilt, kann an der Stelle \(x_2\) kein Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Wendetangente) sein, sondern ausschließlich ein Extrempunkt.

 

  • \(f'\) hat ein lokales Minimum an der Stelle \(x_3\).

\(x_3\) ist Wendestelle des Graphen der Funktion \(f\).

Für den Fall, dass der Graph in der Umgebung von \(x_3\) fällt, ist \(x_3\) eine Stelle der lokal stärksten Abnahme (Steigung ist maximal negativ).

Für den Fall, das der Graph in der Umgebung von \(x_3\) steigt, ist \(x_3\) eine Stelle der lokal geringsten Zunahme (Steigung ist minimal positiv).

 

Zwei mögliche Vorgehensweisen

1. Möglichkeit

Der Graph der Funktion f schneidet die x-Achse an der Stelle x₁ mit Vorzeichenwechsel von - nach +Abb. 1

Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\) mit Vorzeichenwechsel von – nach + .

Der Graph der Funktion f besitzt an der Stelle x₂ einen Hochpunkt.Abb. 1

Dann besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_2}\) einen Hochpunkt ...

Im Wendepunkt an der Stelle x₃ ist die Steigung des Graphen von f lokal maximal negativ.Abb. 1

und im Wendepunkt an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_3}\) ist die Steigung des Graphen von \(f\) maximal negativ.

Ein möglicher Graph von f ist ein Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3Abb. 1

Im dargestellten Bereich ergibt sich ein möglicher Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) vom Grad 3.

 

2. Möglichkeit

Der Graph der Funktion f schneidet die x-Achse an der Stelle x₁ mit Vorzeichenwechsel von + nach -.Abb. 1

Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1\) mit Vorzeichenwechsel von + nach –.

Der Graph der Funktion f besitzt an der Stelle x₂ einen Tiefpunkt.Abb. 1

Dann besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_2}\) einen Tiefpunkt ...

Im Wendepunkt an der Stelle x₃ ist die Steigung des Graphen von f lokal minimal positiv.Abb. 1

und im Wendepunkt an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x_3}\) ist die Steigung des Graphen von \(f\) minimal positiv.

Ein möglicher Graph von f ist ein Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4Abb. 1

Im dargestellten Bereich ergibt sich ein möglicher Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) vom Grad 4.