Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels, von dem nur drei Seiten beschriftet sind.

Abbildung Stochastik 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2022

Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Würfelnetz mit farblicher Hervorhebung der Seitenflächen, die mit der Zahl 1 bzw. nicht mit der Zahl 1 beschriftet sind.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]

Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).

\[P(\textcolor{#cc071e}{\text{„Zahl ist 1"}}) = \frac{\textcolor{#cc071e}{2}}{6} = \frac{1}{3}\]

\[P(\textcolor{#0087c1}{\text{„Zahl ist nicht 1"}}) = \frac{\textcolor{#0087c1}{4}}{6} = \frac{2}{3}\]

 

Veranschaulichung des Ereignisses „Es wird genau viermal gewürfelt" mithilfe eines Baumdiagramms

Veranschaulichung des Ereignisses „Es wird genau viermal gewürfelt" mithilfe eines Baumdiagramms (optional)

Mithilfe der 1. Pfadregel ergibt sich:

Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-, Summenregel)

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[\begin{align*}P(\text{„genau viermal würfeln"}) &= P(\{\overline{1};\overline{1};\overline{1};1\}) \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{\frac{2}{3}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{2}{3}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{2}{3}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{3}} \\[0.8em] &= \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \cdot \frac{1}{3} \\[0.8em] &= \frac{8}{81}\end{align*}\]