Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\).
Abb. 2
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3
Nach der zweiten Pfadregel gilt:
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\]
Nach der Verzweigungsregel (Knotenregel) gilt:
\[\textcolor{#0087c1}{P(A)} = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}}\]
Wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(B\) treten an den Pfaden der zweiten Stufe des Baumdiagramms in Abbildung 2 die gleichen Wahrscheinlichkeiten auf.
Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *
Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.
\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.
\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.
Mithilfe der ersten Pfadregel folgt:
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[\begin{align*}\frac{2}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{2}{15} &&| \cdot \frac{3}{2} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{\cancel{2}}{15} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}}\end{align*}\]
Somit ergibt sich:
\[\begin{align*}P(B) &= P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) \\[0.8em] &= \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{15} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{3}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \end{align*}\]
