Bedingte Wahrscheinlichkeit

Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.

(3 BE)

Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

Betrachte werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Das Baumdiagramm informiert darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Ereignisse jeweils eintreten.

1. Beschreiben Sie die Bedeutung des Werts \(0{,}8\) im Sachzusammenhang in Worten.
2. Stellen Sie den Sachverhalt mithilfe einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Proband, der gesund wurde, ein Placebo verabreicht bekam.

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_f\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\).

Geben Sie in Stichpunkten alle Eigenschaften der Funktion \(f\) an, die Sie dem Graphen \(G_f\) entnehmen können und bestimmen Sie damit einen möglichst einfachen Funktionsterm der Funktion \(f\).

 

Aufgabe 2

Beurteilen Sie folgende Aussage:

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion, bei der das Zähler- und das Nennerpolynom jeweils höchstens Grad 2 aufweist, kann mit einer Gerade maximal drei gemeinsame Punkte haben.

 

Aufgabe 3

Das Baumdiagramm informiert darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Ereignisse jeweils eintreten.

1. Beschreiben Sie die Bedeutung des Werts \(0{,}8\) im Sachzusammenhang in Worten.
2. Stellen Sie den Sachverhalt mithilfe einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Proband, der gesund wurde, ein Placebo verabreicht bekam.

 

Aufgabe 4

Betrachtet werden die stochastisch unabhängigen Ereignisse \(A\) und \(B\) und es gilt: \(P(A \cap B) = 0{,}4\). Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen sicher richtig, sicher falsch oder anhand der vorliegenden Informationen nicht eindeutig sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = \frac{3}{4}x^2 + x\).

Bestimmen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Steigung des Graphen von \(g\) an der Stelle \(x_0 = -2\). Verwenden Sie die \(\boldsymbol{h}\)-Methode.

 

Aufgabe 6

Die Abbildung zeigt einige Messwerte der Überwachung der CO₂-Konzentration während einer Unterrichtsstunde in einem Schulungsraum. Der Graph \(G_h\) der Funktion \(h\) beschreibt annähernd den Verlauf aller Messwerte.

1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung \(\dfrac{h(20) - h(10)}{20-10}\), \(h(25)\) und \(h'(27{,}5)\). Veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise jeweils in der Abbildung. Interpretieren Sie jedes der drei Ergebnisse im Sachzusammenhang.
2. Ermitteln Sie näherungsweise den Zeitpunkt \(t_1\), an dem die CO₂-Konzentration am schnellsten zunimmt. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise kurz.
3. Geben Sie einen Wert für den Zeitpunkt \(t_2\) an, an dem \(h'(t_2) = 0\) gilt.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor 3 in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um 2 in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

 

Aufgabe 2

a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist.

b) Gegeben ist die Funktion

\[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax + a &&\text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &-2 &&\text{für}\;1 \leq x < 5 \\[0.8em] &b \cdot (x^3 - 10x^2 + 25x)-2 &&\text{für}\;x \geq 5 \end{align*} \end{cases}\enspace\text{mit}\;a, b \in \mathbb R\]

Bestimmen Sie den Wert von \(a\) so, dass \(g\) an der Stelle \(x = 1\) stetig ist und zeigen Sie, dass \(g\) an der Stelle \(x = 5\) unabhängig vom Wert von \(b\) stetig ist.

  

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

 

b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

 

Aufgabe 5

a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).

(Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))

b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.

 

Aufgabe 6

Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

Betrachte werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

 

Aufgabe 3

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

 

Aufgabe 5

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Von den im einleitenden Text angegebenen Zahlenwerten soll nur der Prozentsatz 40 % so geändert werden, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) unabhängig sind. Geben Sie den geänderten Wert an.

(2 BE)

Erstellen Sie zu der beschriebenen Situation ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm oder eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

(4 BE)

Die beiden entnommenen Bausteine haben tatsächlich die gleiche Farbe. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bausteine rot sind.

(2 BE)

Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel.

Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. 42 % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind 63 % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet."

\(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet."

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\overline{R}\).

(3 BE)

Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv.

Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert.

(Ergebnis: 9 %)

(4 BE)

Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare.

Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.

(3 BE)

Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{\sf{1}}{\sf{10}}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.

(2 BE)

Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.

(2 BE)

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten 200 Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

(4 BE)

Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.

Dafür konnten sich Kinder in zwei Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(T\): „Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen."

\(E\): „das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen."

Untersuchen Sie die Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochastiche Unabhängigkeit.

(4 BE)

 

(3 BE)