Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei der Modellierung mit \(p\) aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Funktionswerte im Sachzusammenhang bewerten

 

\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]

\[k(x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\]

 

Bedingung III:

Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

 

Graph der Funktion p für x ∈ [-5;5], Punkte (-3|p(-3)) und (3|p(3))
Graph der Funktion k für x ∈ [-5;5], Punkte (-3|k(-3)) und (3|k(3))

Das Intervall \(x \in [-3;3]\) entspricht bei der Modellierung einer zum Mittelpunkt \(M\) des Tunnelbodens symmetrischen Breite von 6 m. Um zu bestätigen, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit \(p\) noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist, überprüft man die Funktionswerte \(p(-3)\) und \(p(3)\) bzw. \(k(-3)\) und \(k(3)\).

Damit Bedingung III erfüllt ist, muss gelten:

 

\(p(x) \geq 4\) für \(x \in [-3;3]\)

bzw.

\(k(x) \geq 4\) für \(x \in [-3;3]\)

 

Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse der Graphen der Funktionen \(p\) und \(k\) gilt \(p(-3) = p(3)\) bzw. \(k(-3) = k(3)\).

 

Nachweis der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse von \(G_{p}\) und \(G_{k}\):

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]

\[k(x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\]

 

\[p(-x) = -0{,}2 \cdot (-x)^{2} + 5 = -0{,}2x^{2} + 5 = p(x)\]

\[k(-x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot (-x) \right) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) = k(x)\]

 

Funktionswerte \(p(-3)\) und \(p(3)\) bzw. \(k(-3)\) und \(k(3)\) berechnen:

 

\[p(-3) = p(3) = -0{,}2 \cdot 3^{2} + 5 = 3{,}2\]

\(\Longrightarrow \quad p(x) \geq 3{,}2\) für \(x \in [-3;3]\)

 

\[k(-3) = k(3) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot 3 \right) \approx 2{,}94\]

\(\Longrightarrow \quad k(x) \geq 2{,}94\) für \(x \in [-3;3]\)

 

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung III ist weder bei einer Modellierung mit \(p\) noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt.

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene