Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als 90 % ist.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer"

 

„Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als 90 % ist."

 

\(X\): Anzahl der Retouren unter \(\textcolor{#0087c1}{n}\) ausgewählten Paketen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{n};\textcolor{#cc071e}{0{,}2})\) binomialverteilt.

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)

Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „kein Treffer".

\[\underbrace{P(X \geq 1)}_{\text{mind. 1 Treffer}} = \underbrace{1 - \underbrace{P(X = 0)}_{\text{kein Treffer}}}_{\text{nicht kein Treffer}}\]

\[\begin{align*} P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}2}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1}) &\textcolor{#89ba17}{>} \textcolor{#89ba17}{0{,}9} &&| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}2}^n(X = 0) &> 0{,}9 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}2}^n(X = 0) &> -0{,}1 &&| \textcolor{#cc071e}{\cdot (-1)\; \text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] P_{0{,}2}^n(X = 0) &\textcolor{#cc071e}{<} 0{,}1 &&| \; P_{0{,}2}^n(X = 0)\; \text{ausformulieren} \\[0.8em] \binom{n}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot (1-0{,}2)^{n\,-\,0} &< 0{,}1 &&|\; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] 0{,}8^n &< 0{,}1 &&| \; \ln\; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{0{,}8^n} &< \ln{0{,}1} &&| \; \log_a{(b^r)} = r \cdot \log_a{b}\; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] n \cdot \ln{0{,}8} &< \ln{0{,}1} &&| \textcolor{#cc071e}{: \ln{0{,}8} < 0\;\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{>} \frac{\ln{0{,}1}}{\ln{0{,}8}} \\[0.8em] n &> 10{,}318\dots &&| \; n \in \mathbb N \; \text{(Anzahl der Retouren)} \\[0.8em] \Rightarrow \; n &= 11 \end{align*}\]

 

Es müssen mindestens 11 Pakete ausgewählt werden.