Abiturlösungen Mathematik Bayern 2015

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\) beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

\[\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel α zwischen der Geraden g und der x₁x₂-Ebene

Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zwischen Gerade und Ebene

Für \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}\) und \(0^{\circ} \leq \beta \leq 90^{\circ}\) gilt:

\[\begin{align*} \cos \beta &= \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \beta = \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 90^{\circ} - \beta \end{align*}\]

\[\sin \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \sin^{-1}(\dots)\]

Veranschaulichung: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene:

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\[x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\colon x_{3} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor der Geraden \(g\):

\[\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \sin{\alpha} &= \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert (-1) \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1 \vert}{\sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{1}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}  \\[3.2em] \alpha &= 30^{\circ} \end{align*}\]

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
2.4.1 Abstand Punkt - Gerade