Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto 2^x + 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto 2^{x+1} + 6x -2\).
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion \(g\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch
- eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und
- eine Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(-10\)
hervorgeht. Begründen Sie, dass die Reihenfolge der Schritte von Bedeutung ist.
Nachweis der Entstehung des Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\)
durch
- eine Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#cc071e}{2}\) und
- eine Verschiebung in \(\textcolor{#0087c1}{y}\)-Richtung um \(\textcolor{#0087c1}{-10}\)
Wie verändern die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) den Graphen einer Funktion \(x \mapsto a \cdot f(b \cdot (x + c)) + d\) gegenüber dem Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\)?
Erst strecken oder spiegeln, dann verschieben!
Ein Vertauschen der Reihenfolge von Strecken und Verschieben bzw. Spiegel und Verschieben ergibt unterschiedliche Graphen und Funktionsterme.
Strecken in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{a}}\)
\(g(x) = \textcolor{#e9b509}{a} \cdot f(x)\) mit \(a \in \mathbb R\)
\(a < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse.
Strecken in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{\dfrac{1}{b}}}\)
\(h(x) = f(\textcolor{#e9b509}{b} \cdot x)\) mit \(b \in \mathbb R\)
\(b < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.
Verschieben in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{d}}\)
\(k(x) = f(x) + \textcolor{#e9b509}{d}\) mit \(d \in \mathbb R\)
Verschieben in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{-c}}\)
\(l(x) = f(x + \textcolor{#e9b509}{c})\) mit \(c \in \mathbb R\)
Spiegelung an der \(\boldsymbol{x}\)-Achse
\[g(x) = -f(x)\]
Spiegelung an der \(\boldsymbol{y}\)-Achse
\[h(x) = f(-x)\]
\[f(x) = 2^x + 3x + 4\]
\[g(x) = 2^{x+1} + 6x -2\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{2} \cdot f(x) \textcolor{#0087c1}{- 10} &= \textcolor{#cc071e}{2} \cdot \left( 2^x + 3x + 4 \right) \textcolor{#0087c1}{- 10} \\[0.8em] &= 2^1 \cdot 2^x + 6x + 8 - 10 &&|\; a^r \cdot a^s = a^{r+s} \\[0.8em] &= 2^{x+1} + 6x -2 \\[0.8em] &= g(x)\end{align*}\]
Begründung, dass die Reihenfolge der Schritte von Bedeutung ist
Die Regel lautet: Erst strecken oder spiegeln, dann verschieben!
Ein Vertauschen der Reihenfolge von strecken und verschieben führt dazu, dass sich der Wert der Verschiebung um den Wert der Streckung vervielfacht und dadurch eine andere Funktion entsteht.
\[\underbrace{\textcolor{#cc071e}{2} \cdot (\underbrace{f(x) \textcolor{#0087c1}{- 10}}_{\text{1. Verschiebung}})}_{\text{2. Streckung}} = 2 \cdot f(x) - 20 \neq \underbrace{\underbrace{\textcolor{#cc071e}{2} \cdot f(x)}_{\text{1. Streckung}} \textcolor{#0087c1}{- 10}}_{\text{2. Verschiebung}}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.1.7 Entwicklung von Funktionen)
