Gegeben ist die Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1|4|0)\) und Radius 6.
Bestimmen Sie alle Werte \(p \in \mathbb R\), für die der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel liegt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
1. Möglichkeit: Betrag eines Vektors anwenden
Da der Punkt \(P\) auf der Kugel liegt, muss der Abstand \(d(P;M)\) von \(P\) zum Mittelpunkt \(M\) gleich dem Radius 6 der Kugel sein.
\[d(P;M) = \vert \overrightarrow{MP} \vert = 6\]
Verbindungsvektor \(\overrightarrow{MP}\) bestimmen:
\(M(1|4|0)\), \(P(5|1|p)\)
\[\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ p \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ p \end{pmatrix}\]
Betrag (Länge) des Vektors \(\overrightarrow{MP}\) berechnen:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\vert \overrightarrow{MP} \vert = \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ p \end{pmatrix} \right| = \sqrt{4^{2} + (-3)^{2} + p^{2}} = \sqrt{25 + p^{2}}\]
Alle Werte \(p \in \mathbb R\) bestimmen:
\[\begin{align*} \vert \overrightarrow{MP} \vert = 6 \\[0.8em] \sqrt{25 + p^{2}} &= 6 &&| \; (\dots)^{2} \enspace \text{(Wurzelgleichung quadrieren)} \\[0.8em] 25 + p^{2} & = 36 &&| - 25 \\[0.8em] p^{2} &= 11 &&| \; \sqrt{\quad} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad p_{1} = -\sqrt{11} \; \vee \; p_{2} = \sqrt{11}\]
2. Möglichkeit: Kugelgleichung aufstellen
Durch die Angabe des Mittelpunkts \(M(1|4|0)\) und des Radius \(r = 6\) ist die Gleichung der Kugel \(K\) eindeutig festgelegt. Sie lässt sich beispielsweise in Koordinatendarstellung formulieren.
Kugelgleichung
Eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(m_{1}|m_{2}|m_{3})\) und dem Radius \(r\) wird beschrieben durch:
Vektordarstellung
\[(\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M})^{2} = r^{2}\]
Koordinatendarstellung
\[(x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}\]
\[\begin{align*} &K \colon (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 0)^{2} = 6^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + {x_{3}}^{2} = 36\end{align*}\]
Der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel(oberfläche) muss die Kugelgleichung erfüllen.
\[\begin{align*}P \in K \colon (p_{1} - 1)^{2} + (p_{2} - 4)^{2} + {p_{3}}^{2} &= 36 \\[0.8em] (5 - 1)^{2} + (1 - 4)^{2} + p^{2} &= 36 \\[0.8em] 4^{2} + (-3)^{2} + p^{2} &= 36 \\[0.8em] 25 + p^{2} & = 36 &&| - 25 \\[0.8em] p^{2} &= 11 &&| \; \sqrt{\quad}\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad p_{1} = -\sqrt{11} \; \vee \; p_{2} = \sqrt{11}\]
