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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\).
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat.
(5 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an.
(2 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\).
Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht
(2 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?
(1 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 1
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Battló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).
Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten Koordiantensystems die Punkte \(A\,(-2|0)\), \(B\,(2|0)\) und \(C\,(0|5)\) liegen (1 LE entspricht 1m, d.h. das Kunstwerk ist 5m hoch).
Abb. 1
Ermitteln Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten quadratischen Funktion \(p\), deren Graph durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft.
(zur Kontrolle: \(p(x) = -1{,}25x^2 + 5\))
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.
(7 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Abbildung 2 zeigt die Graphen von \(p\) und \(q\).
Welcher der beiden dargestellten Graphen ist \(G_g\,\)? Begründen Sie Ihre Antwort.
Abb. 2
(2 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Im Intervall \(]0;2[\) gibt es eine Stelle \(x_0\), an der der Wert der Differenz \(d(x) = q(x) - p(x)\) maximal wird. Berechnen Sie \(x_0\) sowie den Wert der zugehörigen Differenz.
(5 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Berechnen Sie mithilfe der Funktion \(q\) einen Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand.
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Die Gerade mit der Gleichung \(y = 1{,}1\) teilt im Modell den vom Kunstwerk eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion \(q\) das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann. Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese.
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle versteht man das Volumen des Wassers, das an der Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeifließt. Die Funktion \(f\) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt \(t = 0\) eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 3 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\,\).
Abb. 3
Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich \(t > 1\) Näherungswerte für die Koordinaten des Hochpunkts sowie für die \(t\)-Koordinaten der beiden Wendepunkte von \(G_f\) und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang an.
(5 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Bestimmen Sie \(\displaystyle \int_1^4 f(t)\,dt\) näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.
(5 BE)
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- Kategorie: Analysis II - Teil 2
Bestimmen Sie mithilfe von \(G_f\) für \(t = 4\) und \(t = 3\) jeweils einen Näherungswert für die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;t]\,\). Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) im Sachzusammenhang?
(5 BE)
