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Scheitelpunkt

  • Zeichnen Sie die Parabel \(G_h\) - unter Berücksichtigung des Scheitels - im Bereich \(-2 \leq x \leq 4\) in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von \(G_h\) an der Winkelhalbierenden \(w\), so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.

    (4 BE)

  • Begründen Sie, dass \(2{,}5\) die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{f}\) ist.

    (2 BE)

  • Der Graph von \(f\) soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \(\mathbb R\) definierte quadratische Funktion \(q\) betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \((0|2)\) hat und durch den Punkt \((4|f(4))\) verläuft.

    Ermitteln Sie den Term \(q(x)\) der Funktion \(q\), ohne dabei zu Runden.

    (4 BE)

  • Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der \(x\)-Achse, sein Mittelpunkt \(M\) im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

    I   Breite des Tunnelbodens: b = 10 m

    II  Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h = 5 m

    III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

    Abbildung zu Teilaufgabe 1 - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

     

    Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion \(p \colon x \mapsto -0{,}2x^{2} + 5\) mit dem Definitionsbereich \(D_{p} = [-5;5]\).

    Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

    (6 BE)

  • Der Hochpunkt des Graphen von \(f\) liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von \(a\).

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 1

    (3 BE) 

  • Für einen bestimmten Wert \(n \in \{1;2;3;\dots\}\) werden für \(p \in \;]0;1[\) die binomialverteilten Zufallsgrößen \(Z_p\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit \(p = 0{,}5\) die größte Varianz hat.

    (3 BE) 

  • An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Battló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).

    Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten Koordiantensystems die Punkte \(A\,(-2|0)\), \(B\,(2|0)\) und \(C\,(0|5)\) liegen (1 LE entspricht 1m, d.h. das Kunstwerk ist 5m hoch).

    Abbildung 1Abb. 1

    Ermitteln Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten quadratischen Funktion \(p\), deren Graph durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft.

    (zur Kontrolle: \(p(x) = -1{,}25x^2 + 5\))

    (3 BE)

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

 2023 Christian Rieger・mathelike