Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx\) mit \(a = 2{,}82\) (siehe Teilaufgabe 1d) errechnet näherungsweise den Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[A = \int_{0}^{a}f(x)\,dx\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[f(x) = 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x = 3 - 3e^{-x} - x\]
Stammfunktion einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C\]
\[r \neq -1\]
Stammfunktion einer natürlichen Exponentialfunktion mit linearem Term im Argument
\[f(x) = e^{ax + b} \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{a} \cdot e^{ax + b} + C\]
\[ \begin{align*} A &= \int_{0}^{a} f(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left [ 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x \right ] dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left( 3 - 3e^{-x} - x \right)\,dx \\[0.8em] &= \left [3x + 3e^{-x} -\frac{1}{2}x^2 \right ]_{0}^{a} \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - \left (3 \cdot 0 + 3e^{-0} - \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right ) \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - 3 \\[0.8em] &= 3 \cdot 2{,}82 + 3e^{-2{,}82} -\frac{1}{2} \cdot 2{,}82^2 - 3 \\[0.8em] &\approx 1{,}66 \end{align*} \]
