Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014 (Beispiel-Abiturprüfung)

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph von f im I. Quadranten mit der x-Achse einschließt

Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx\) mit \(a = 2{,}82\) (siehe Teilaufgabe 1d) errechnet näherungsweise den Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im I. Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

\[A = \int_{0}^{a}f(x)\,dx\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[f(x) = 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x = 3 - 3e^{-x} - x\]

Stammfunktionen

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C\]

\[r \neq -1\]

Stammfunktion einer natürlichen Exponentialfunktion mit linearem Term im Argument

\[f(x) = e^{ax + b} \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{a} \cdot e^{ax + b} + C\]

\[ \begin{align*} A &= \int_{0}^{a} f(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left [ 3 \left (1 - e^{-x} \right ) - x \right ] dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{a} \left( 3 - 3e^{-x} - x \right)\,dx \\[0.8em] &= \left [3x + 3e^{-x} -\frac{1}{2}x^2 \right ]_{0}^{a} \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - \left (3 \cdot 0 + 3e^{-0} - \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right ) \\[0.8em] &= 3a + 3e^{-a} -\frac{1}{2}a^2 - 3 \\[0.8em] &= 3 \cdot 2{,}82 + 3e^{-2{,}82} -\frac{1}{2} \cdot 2{,}82^2 - 3 \\[0.8em] &\approx 1{,}66 \end{align*} \]

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene