Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\displaystyle \int_{0}^{1}h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1}k(x)\,dx\) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Bestimmtes Integral berechnen, Bedeutung im Sachzusammenhang
\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\,; \enspace x \geq 0\]
\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx\]
Berechnung eines Näherungswerts für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\)
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx = K(1) - K(0)\]
Stammfunktion \(K\) der Funktion \(k\) bestimmen:
\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\]
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int c \, dx = c \cdot x + C \quad (c \in \mathbb R)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln \vert x \vert + C\]
\[\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
\[C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} K(x) &= 3 \cdot \left( \ln{\vert x + 1 \vert} - \ln{\vert x + 3 \vert} \right) -0{,}2x + C & &| \;x \geq 0 \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x + C \end{align*}\]
Bestimmtes Integral berechnen:
\[\begin{align*} \int_{0}^{1} h(x)\,dx &\approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx \\[0.8em] &= [K(x)]_{0}^{1} \\[0.8em] &= \left[ 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x \right]_{0}^{1} \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{(1 + 1)} - \ln{(1 + 3)}) -0{,}2 \cdot 1 \\[0.8em] &- ( 3\cdot (\ln{(0 + 1)} - \ln{(0 + 3)}) -0{,}2 \cdot 0) \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{2} - \ln{4}) -0{,}2 - (3\cdot (\ln{1} - \ln{3})) \\[0.8em] &= 3 \cdot (\ln{2} - 2\ln{2}) - 0{,}2 + 3\ln{3} \\[0.8em] &= -3\ln{2} - 0{,}2 +3\ln{3} \\[0.8em] &\approx 1{,}02 \end{align*}\]
Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang
Während der ersten Minute des Reinigungsvorgangs werden ungefähr 1,02 Gramm Schadstoffe abgebaut.
