Abiturlösungen Mathematik Bayern 2015

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\displaystyle \int_{0}^{1}h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1}k(x)\,dx\) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Bestimmtes Integral berechnen, Bedeutung im Sachzusammenhang

 

\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\,; \enspace x \geq 0\]

\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx\]

 

Berechnung eines Näherungswerts für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\)

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx = K(1) - K(0)\]

 

Stammfunktion \(K\) der Funktion \(k\) bestimmen:

 

\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\]

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale:

\[\int c \, dx = c \cdot x + C \quad (c \in \mathbb R)\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln \vert x \vert + C\]

\[\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]

Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

\[C \in \mathbb R\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} K(x) &= 3 \cdot \left( \ln{\vert x + 1 \vert} - \ln{\vert x + 3 \vert} \right) -0{,}2x + C & &| \;x \geq 0 \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x + C \end{align*}\]

 

Bestimmtes Integral berechnen:

 

\[\begin{align*} \int_{0}^{1} h(x)\,dx &\approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx \\[0.8em] &= [K(x)]_{0}^{1} \\[0.8em] &= \left[ 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x \right]_{0}^{1} \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{(1 + 1)} - \ln{(1 + 3)}) -0{,}2 \cdot 1 \\[0.8em] &- ( 3\cdot (\ln{(0 + 1)} - \ln{(0 + 3)}) -0{,}2 \cdot 0) \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{2} - \ln{4}) -0{,}2 - (3\cdot (\ln{1} - \ln{3})) \\[0.8em] &= 3 \cdot (\ln{2} - 2\ln{2}) - 0{,}2 + 3\ln{3} \\[0.8em] &= -3\ln{2} - 0{,}2 +3\ln{3} \\[0.8em] &\approx 1{,}02 \end{align*}\]

 

Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang

 

Während der ersten Minute des Reinigungsvorgangs werden ungefähr 1,02 Gramm Schadstoffe abgebaut.

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene