Abiturlösungen Mathematik Bayern 2024 Prüfungsteil B Geometrie 1

Gegeben sind die Punkte \(A(8|0|6)\), \(B(7|1|6)\) und \(S(0|0|10)\), die in der Ebene \(E\) liegen.

Berechnen Sie die Länge der Strecke \([AB]\) und geben Sie die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.

(zur Kontrolle: \(\overline{AB} = \sqrt{2}\))

(3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon x_1+x_2+2x_3-20=0\))

(3 BE)

Betrachtet werden die Schar der Geraden \(g_k \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) und \(k \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(C(9|1|5)\).

Begründen Sie, dass jede Gerade der Schar in \(E\) liegt, und bestimmen Sie denjenigen Wert \(k\), für den der Punkt \(C\) auf \(g_k\) liegt.

(zur Kontrolle: \(k = 0{,}8\))

(4 BE)

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene weniger als 30° beträgt, wenn \(2k^2 > 1\) gilt.

(5 BE)

Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene \(E\) liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt \(S\). Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten \(A\) und \(B\) stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt \(C\) entspricht (vgl. Abbildung).

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade \(g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}\). Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 5 Metern in der Realität.

Geben Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründen Sie mithilfe der Aussage aus Aufgabe d, dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als 30° gegenüber der Horizontalen geneigt ist.

(3 BE)

Begründen Sie rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.

(4 BE)

An der Stelle, die im Modell dem Punkt \(C\) entspricht, wird die Fahrlinie der Skifahrerin ohne Knick durch eine kreisbogenförmige Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt \(D(18|-2|2)\) entspricht.

Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(m_1|m_2|m_3)\). Die Koordinaten von \(M\) können mit folgendem Gleichungssystem ermittelt werden.

\[\textsf{I} \quad m_1 + m_2+2m_3 -20 = 0\]

\[\textsf{II} \;\begin{pmatrix} m_1 -9\\m_2 -1\\m_3 - 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1{,}8\\0{,}2\\-1  \end{pmatrix} = 0\]

\[\textsf{III} \; \, \sqrt{(m_1-9)^2+(m_2-1)^2+(m_3-5)^2} = \sqrt{(m_1-18)^2+(m_2+2)^2+(m_3-2)^2}\]

Erläutern Sie die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen I, II und III zugrunde liegen.

(3 BE)