Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.
Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.
(8 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-1\}\]
Nachweis, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\int_0^4 f(x)\, dx = [F(x)]_0^4\]
Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) bestimmen:
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\]
\[\int c \, dx = c \cdot x + C \quad (c \in \mathbb R)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln \vert x \vert + C\]
\[\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
\[C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\]
\[\begin{align*} F(x) &= \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \frac{1}{1} \cdot \ln \vert x + 1 \vert + C \\[0.8em] &= \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \ln \vert x + 1 \vert + C \end{align*}\]
Bestimmtes Integral \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx\) berechnen:
\[\begin{align*} \int_0^4 f(x)\,dx &= \int_0^4 \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\right) \, dx \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \ln \vert x + 1 \vert \right]_0^4 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 4 + 8 \cdot \ln \vert 4 + 1 \vert - \left( \frac{1}{4} \cdot 0^2 - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 \cdot \ln \vert 0 + 1 \vert \right) \\[0.8em] &= 4 - 2 + 8 \cdot \ln 5 \\[0.8em] &= 2 + 8 \cdot \ln 5 \end{align*}\]
Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\)
![Flächenstücke, die der Graph von f im Intervall [0;4] und im Intervall [-6;-2] mit der x-Achse einschließt](/images/stories/B2013_A_II/B2013_A_II_T2_2b.png "Flächenstücke, die der Graph von f im Intervall [0;4] und im Intervall [-6;-2] mit der x-Achse einschließt")
Wegen der Punktsymmetrie von \(G_f\) zum Punkt \(P\,(-1|-1)\) (siehe Teilaufgabe 2a) ist der Flächeninhalt des Flächenstücks \(A_1\), das \(G_f\) im Intervall \([0;4]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, gleich groß wie der Flächeninhalt des Flächenstücks \(A_2\), das \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der Geraden \(y = -2\) einschließt.
Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, errechnet sich als die Summe von \(A_2\) und dem Flächeninhalt \(A_3\) des Rechtecks, das die Gerade \(y = -2\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Da \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, zählt das Integral \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\) die Flächeninhalte der Flächenstücke \(A_2\) und \(A_3\) negativ.
\[\begin{align*} \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx &= - (A_2 + A_3) & &| \; A_1 = A_2 \\[0.8em] &= - (A_1 + A_3) \\[0.8em] &= - \left( \int_0^4 f(x)\,dx + 4 \cdot 2 \right) \\[0.8em] &= - (2 + 8 \cdot \ln 5 + 8) \\[0.8em] &= -10 - 8 \cdot \ln 5 \\[0.8em] &\approx -22{,}88 \end{align*}\]
