Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.
Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\).
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn
\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)
gilt.
Da \(G_{f}\) die einfache Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) mit Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) besitzt, ist der Punkt \(\textcolor{#e9bf09}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) (Eintragungen in die Abbildung optional).
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Mit \(f(-1) = \boldsymbol{F'(-1) = 0}\) beutet die Nullstelle \(x = -1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) eine waagrechte Tangente hat.
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
Der Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{G_{f}}\) an der Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) bedeutet nach dem Monotoniekriterium, dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von streng monoton fallend zu streng monoton steigend wechselt.
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Also ist \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\).
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Tiefpunkt} \; T\,(-1|2)}\]
