Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel x = -1 des Graphen der Funktion  f, Tiefpunkt T(-1|2) des Graphen der Stammfunktion F

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\).

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Da \(G_{f}\) die einfache Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) mit Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) besitzt, ist der Punkt \(\textcolor{#e9bf09}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) (Eintragungen in die Abbildung optional).

 

Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)

Mit \(f(-1) = \boldsymbol{F'(-1) = 0}\) beutet die Nullstelle \(x = -1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) eine waagrechte Tangente hat.

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Der Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{G_{f}}\) an der Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) bedeutet nach dem Monotoniekriterium, dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von streng monoton fallend  zu streng monoton steigend wechselt.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Also ist \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\).

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Tiefpunkt} \; T\,(-1|2)}\]