Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\).

Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor.

Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte \(k\) der Zufallsgröße \(Y\) ist gleich Eins.

 

\[Var(Y) = \frac{11}{8}\]

\[\sum P(Y = k) = 1\]

 

Aus den beiden Bedingung lässt sich jeweils eine Gleichung für die zu bestimmenden Werte der Wahrscheinlichkeiten \(a\) und \(b\) formulieren.

Varianz einer Zufallsgröße

Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:

Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\[\begin{align*}Var(X) \enspace = \quad &\sum \limits_{i\;=\;1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{i}) \\[0.8em] \enspace = \quad &(x_{1} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{1}) + (x_{2} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{2}) + \dots \\[0.8em] + \; &(x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n)\end{align*}\]

Die Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist eine Maßzahl für die Streuung der Werte \(x_{i}\) der Zufallsgröße um den Erwartungswert \(\mu\).

\(\textcolor{#cc071e}{\mu = E(Y) = 2}\) (vgl. Teilaufgabe 3a)

 

\(\textcolor{#89ba17}{k}\) \(\textcolor{#89ba17}{0}\) \(\textcolor{#a9ba17}{1}\) \(\textcolor{#89ba17}{2}\) \(\textcolor{#89ba17}{3}\) \(\textcolor{#89ba17}{4}\)
\(\textcolor{#e9b509}{P(Y = k)}\) \(\textcolor{#e9b509}{a}\) \(\textcolor{#e9b509}{b}\) \(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}}\) \(\textcolor{#e9b509}{b}\) \(\textcolor{#e9b509}{a}\)

 

\[\begin{align*}Var(Y) &= (\textcolor{#89ba17}{0} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} + (\textcolor{#89ba17}{1} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{2} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}} + (\textcolor{#89ba17}{3} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{b} + (\textcolor{#89ba17}{4} - \textcolor{#cc071e}{2})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{a} \\[0.8em] &= 4a + b + b + 4a \\[0.8em] &= 8a + 2b \end{align*}\]

 

Mit \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) folgt:

 

\[8a + 2b = \frac{11}{8}\quad \enspace \text{(Gleichung I)}\]

 

\(k\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(\textcolor{#e9b509}{P(Y = k)}\) \(\textcolor{#e9b509}{a}\) \(\textcolor{#e9b509}{b}\) \(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{8}}\) \(\textcolor{#e9b509}{b}\) \(\textcolor{#e9b509}{a}\)

 

\[\begin{align*}\sum P(Y = k) &= \textcolor{#e9b509}{a + b + \frac{3}{8} + b + a} \\[0.8em] &= 2a + 2b + \frac{3}{8}\end{align*}\]

 

Mit \(\sum P(Y = k) = 1\) folgt:

 

\[\begin{align*} 2a + 2b + \frac{3}{8} &= 1 &&| - \frac{3}{8} \\[0.8em] 2a + 2b &= \frac{5}{8}&& \text{(Gleichung II)} \end{align*}\]

 

Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren lösen lässt (hier Subtraktion).

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & 8a + 2b = \frac{11}{8} \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & 2a + 2b = \frac{5}{8} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\text{II}\; - \;\text{I}\,\colon \enspace 8a - 2a + 2b - 2b &= \frac{11}{8} - \frac{5}{8}\\[0.8em] 6a &= \frac{6}{8} &&| : 6 \\[0.8em] a &= \frac{1}{8} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}a = \frac{1}{8}\; \text{in II}\,\colon \enspace 2 \cdot \frac{1}{8} + 2b &= \frac{5}{8} \\[0.8em] \frac{2}{8} + 2b &= \frac{5}{8} &&| - \frac{2}{8} \\[0.8em] 2b &= \frac{3}{8} &&| : 2 \\[0.8em] b &= \frac{3}{16} \end{align*}\]